閉圖像定理

Template:NoteTA 閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。

敘述

設$X$，$Y$為巴拿赫空間，$T:X\to Y$為線性算子。定義$T$的圖像為$X\times Y$的子空間

$\mathrm{\Gamma }(T)=\{(x,T(x))\in X\times Y|x\in X\}$。

賦予$X\times Y$範數$\Vert (x,y){\Vert }_{X\times Y}=\Vert x{\Vert }_X+\Vert y{\Vert }_Y$，使得$X\times Y$成為巴拿赫空間。那麼，這定理指$T$是連續的（與有界等價）當且僅當$\mathrm{\Gamma }(T)$在$X\times Y$內是閉集。

證明

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

$\mathrm{\Gamma }(T)$是閉集的充分必要條件是如果序列$\{(x_n,y_n){\}}_n\subset \mathrm{\Gamma }(T)$（即對任意$n$有$y_n=T(x_n)$），而$(x_n,y_n)\to (x,y)$，那麼$(x,y)\in \mathrm{\Gamma }(T)$，$y=T(x)$。如果$T$是連續的，從連續性立刻可知$\mathrm{\Gamma }(T)$是閉集，因為連續性是更強的條件：如果$x_n\to x$，則$T(x_n)\to T(x)$。

如果$\mathrm{\Gamma }(T)$是閉集，可以在$\mathrm{\Gamma }(T)$定義線性算子

${\pi }_1:\mathrm{\Gamma }(T)\to X,(x,y)\mapsto x$，

${\pi }_2:\mathrm{\Gamma }(T)\to Y,(x,y)\mapsto y$。

顯然$\Vert {\pi }_2(x,y){\Vert }_Y=\Vert y{\Vert }_Y\le \Vert (x,y){\Vert }_{X\times Y}$，因此${\pi }_2$是有界算子。

$\mathrm{\Gamma }(T)$是巴拿赫空間$X\times Y$中的閉子空間，所以$\mathrm{\Gamma }(T)$是巴拿赫空間。$X$也是巴拿赫空間，${\pi }_1$是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆${\pi }_1^{-1}:X\to \mathrm{\Gamma }(T)$為有界算子。

因為$T={\pi }_2\circ {\pi }_1^{-1}$，故$T$也是有界的。

推論

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。 Template:泛函分析 Template:泛函分析定理