开映射定理

在泛函分析中，开映射定理（open mapping theorem，亦称巴拿赫-绍德定理 (Banach–Schauder theorem) 或巴拿赫定理 (Banach theorem)）是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地Template:Harv:

• 如果X和Y是巴拿赫空间，A : X → Y是一个满射的连续线性算子，那么A就是一个开映射（也就是说，如果U是X内的开集，那么A(U)就是Y内的开集）。

该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。

结果

开映射定理有一些重要的结果：

• 如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么逆算子A^-1 : Y → X也是连续的。Template:Harv

• 如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列(x_n)，只要x_n → 0且Ax_n → y就有y = 0，那么A就是连续的（闭图像定理）。Template:Harv

证明

我们需要证明，如果Template:Nowrap是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么A就是一个开映射。为此，只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

设U，V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数Template:Nowrap的序列的并集，k ∈ N，且由于A是满射，

$Y=A(X)=A\left(\bigcup _{k\in \mathbb{N}}kU\right)=\bigcup _{k\in \mathbb{N}}A(kU).$

根据贝尔纲定理，巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在Template:Nowrap，使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球B(c, r)，其中心为c，Template:Nowrap，包含在A(kU)的闭包内。如果v ∈ V，那么Template:Nowrap和c位于B(c, r)内，因此是Template:Nowrap的极限点，根据加法的连续性，它们的差rv是Template:Nowrap Template:Nowrap的极限点。根据A的线性，这意味着任何v ∈ V都位于Template:Nowrap的闭包内，其中δ = Template:Nowrap。于是可以推出，对于任何y ∈ Y和Template:Nowrap，都存在某个x ∈ X，满足：

$||x||<{\delta }^{-1}||y||$ 且 $||y-Ax||<\epsilon .(1)$

固定Template:Nowrap。根据(1)，存在某个Template:Nowrap，满足||Template:Nowrap|| < 1且||Template:Nowrap|| Template:Nowrap。定义序列{x_n}如下。假设：

$||x_n||<2^{-(n-1)}$ 且 $||y-A(x_1+x_2+\cdots +x_n)||<\delta 2^{-n};(2)$

根据(1)，我们可以选择Template:Nowrap，使得：

$||x_{n+1}||<2^{-n}$ 且 $||y-A(x_1+x_2+\cdots +x_n)-A(x_{n+1})||<\delta 2^{-(n+1)},$

因此Template:Nowrap满足(2)。设

$s_n=x_1+x_2+\cdots +x_n.$

从(2)的第一个不等式可知，{s_n}是一个柯西序列，且由于X是完备的，s_n收敛于某个Template:Nowrap。根据(2)，序列Template:Nowrap趋于y，因此根据A的连续性，有Template:Nowrap。而且：

$||x||=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }||s_n||\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}||x_n||<2.$

这表明每一个Template:Nowrap都属于Template:Nowrap，或等价地，X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球Template:Nowrap。因此，A(U)是Y内0的邻域，定理得证。

推广

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当X和Y是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合Template:Harv：

• 设X为F空间，Y为拓扑向量空间。如果A : X → Y是一个连续线性算子，那么要么A(X)是Y内的贫集，要么A(X) = Y。在后一个情况中，A是开映射，Y也是F空间。

更进一步，在这个情况中，如果N是A的核，那么A有一个标准分解，形如下式：

$X\to X/N\stackrel{\alpha }{\to }Y$

其中X / N是X对闭子空间N的商空间（也是F空间）。商映射X → X / N是开放的，且映射α是拓扑向量空间的同构Template:Harv。

参考文献

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