逆威沙特分佈

逆威沙特分布，也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数，定义在实值的正定矩阵上。在贝叶斯统计中，逆威沙特分布會用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。 如果一个正定矩阵 $𝐁$ 的逆矩阵 ${𝐁}^{-1}$ 遵从威沙特分布 $W({\mathrm{\Psi }}^{-1},m)$ 的话，那么就说矩阵 $𝐁$ 遵从逆威沙特分布：

$𝐁\sim W^{-1}(\mathrm{\Psi },m)$

概率密度函数

逆威沙特分布的概率密度函数是：

$\frac{{\left|\mathrm{\Psi }\right|}^{m/2}{\left|𝐁\right|}^{-(m+p+1)/2}{e}^{-\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(\mathrm{\Psi }{𝐁}^{-1})/2}}{2^{mp/2}{\mathrm{\Gamma }}_p(m/2)},$

其中 $𝐁$ 和 $\mathrm{\Psi }$ 都是 $p\times p$ 的正定矩阵，而Γ_p(·) 则是Template:Le。函数

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}:𝐌\to \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(𝐌)$

指的是迹函数。

相关定理

威沙特分布矩阵之逆的概率分布

设矩阵$𝐀\sim W(\mathrm{\Sigma },m)$ 并且 $\mathrm{\Sigma }$ 是$p\times p$ 的矩阵，那么 $𝐁={𝐀}^{-1}$ 遵从逆威沙特分布：$𝐁\sim W^{-1}({\mathrm{\Sigma }}^{-1},m)$。它的概率密度函数是：

$p(𝐁|\mathrm{\Psi },m)=\frac{{\left|\mathrm{\Psi }\right|}^{m/2}{\left|𝐁\right|}^{-(m+p+1)/2}\exp \left(-\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Psi }{𝐁}^{-1})/2\right)}{2^{mp/2}{\mathrm{\Gamma }}_p(m/2)}$

其中 $\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Sigma }}^{-1}$，而 ${\mathrm{\Gamma }}_p(\cdot )$ 是多变量伽马分布。

威沙特分布矩阵之逆的边际与条件分布

设矩阵 $𝐀\sim W^{-1}(\mathrm{\Psi },m)$ 遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵 $𝐀$ 和 $\mathrm{\Psi }$ 都有相适合的分块矩阵表示方式：

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}_{11}& {𝐀}_{12}\\ {𝐀}_{21}& {𝐀}_{22}\end{array}\right],\mathrm{\Psi }=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}_{11}& {\mathrm{\Psi }}_{12}\\ {\mathrm{\Psi }}_{21}& {\mathrm{\Psi }}_{22}\end{array}\right]$

其中子矩阵 ${𝐀}_{ij}$ 和 ${\mathrm{\Psi }}_{ij}$ 是 $p_i\times p_j$ 的矩阵，那么会有：

甲）${𝐀}_{11}$ 和 ${𝐀}_{11}^{-1}{𝐀}_{12}$ 与 ${𝐀}_{22\cdot 1}$ 相互独立，其中 ${𝐀}_{22\cdot 1}={𝐀}_{22}-{𝐀}_{21}{𝐀}_{11}^{-1}{𝐀}_{12}$ 是子矩阵 ${𝐀}_{11}$ 在 $𝐀$ 中的舒尔补。

乙） ${𝐀}_{11}\sim W^{-1}({\mathrm{\Psi }}_{11},m-p_2)$;

丙） ${𝐀}_{11}^{-1}{𝐀}_{12}|{𝐀}_{22\cdot 1}\sim M{N}_{p_1\times p_2}({\mathrm{\Psi }}_{11}^{-1}{\mathrm{\Psi }}_{12},{𝐀}_{22\cdot 1}\otimes {\mathrm{\Psi }}_{11}^{-1})$，其中 $M{N}_{p\times q}(\cdot ,\cdot )$ 是矩阵正态分布。

丁）${𝐀}_{22\cdot 1}\sim W^{-1}({\mathrm{\Psi }}_{22\cdot 1},m)$

共轭分布

假设要求先验分布 $p(\mathrm{\Sigma })$ 为逆威沙特分布 $W^{-1}(\mathrm{\Psi },m)$ 的协方差矩阵$\mathrm{\Sigma }$。如果观测值 $𝐗=[{𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n]$ 是从互相独立的 p-变量正态分布 $N(\mathrm{𝟎},\mathrm{\Sigma })$ 的随机变量得到的，那么条件分布 $p(\mathrm{\Sigma }|𝐗)$ 遵从的是逆威沙特分布：$W^{-1}(𝐀+\mathrm{\Psi },n+m)$。其中 $𝐀=𝐗{𝐗}^T$ 是样本协方差矩阵的$n$倍。

因此，逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。

矩相关特性

期望值：Template:Rp

$E(𝐁)=\frac{\mathrm{\Psi }}{m-p-1}.$

矩阵 $𝐁$ 的每一个系数的方差：

$\text{var}(b_{ij})=\frac{(m-p+1){\psi }_{ij}^2+(m-p-1){\psi }_{ii}{\psi }_{jj}}{(m-p)(m-p-1{)}^2(m-p-3)}$

对角系数的方差是在上式中令 $i=j$ 得到，化简后变成：

$\text{var}(b_{ii})=\frac{2{\psi }_{ii}^2}{(m-p-1{)}^2(m-p-3)}.$

相关分布

当变量数目减到一个的时候，逆威沙特分布会变成特例：Template:Le。也就是说，当 $p=1$、$\alpha =m/2$、$\beta =\mathrm{\Psi }/2$ 以及 $x=𝐁$ 的时候，逆威沙特分布的概率密度函数是：

$p(x|\alpha ,\beta )=\frac{{\beta }^{\alpha }{x}^{-\alpha -1}\exp (-\beta /x)}{{\mathrm{\Gamma }}_1(\alpha )}.$

这正是逆伽马分布。其中 ${\mathrm{\Gamma }}_1(\cdot )$ 是通常的伽马函数。

而逆威沙特分布也有推广，其中一个是Template:Le。

参见

• 威沙特分布
• 矩阵正态分布