迪尼定理

在-{zh-hans:数学; zh-tw:數學}-中，迪尼定理-{zh-hans:叙; zh-tw:敘}-述如下：-{zh-hans:设; zh-tw:設}- X 是一-{zh-hans:个; zh-tw:個}--{zh-hans:紧; zh-tw:緊}-致的拓-{zh-hans:扑; zh-tw:撲}-空-{zh-hans:间; zh-tw:間}-， $f_n(x)$是 X 上的一-{zh-hans:个; zh-tw:個}--{zh-hans:单调递; zh-tw:單調遞}-增的-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}--{zh-hans:实; zh-tw:實}-值函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列（即使得-{zh-hans:对; zh-tw:對}-任意 n 和 X 中的任意 x 都有$f_n(x)\le f_{n+1}(x)$）。如果-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列逐-{zh-hans:点; zh-tw:點}-收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-到一-{zh-hans:个连续; zh-tw:個連續}-的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}- f ，那-{zh-hans:么这个; zh-tw:麼這個}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-到 f 。-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-定理以意大利-{zh-hans:数学; zh-tw:數學}-家-{zh-hans:乌; zh-tw:烏}-利塞·迪尼命名。

-{zh-hans:对于; zh-tw:對於}--{zh-hans:单调递减; zh-tw:單調遞減}-的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列，定理同-{zh-hans:样; zh-tw:樣}-成立。-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-定理是少-{zh-hans:数; zh-tw:數}-的由逐-{zh-hans:点; zh-tw:點}-收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-可推出一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-的例子之一，原因是由-{zh-hans:单调; zh-tw:單調}-性-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-更-{zh-hans:强; zh-tw:強}-的-{zh-hans:条; zh-tw:條}-件。

注意定理中的 f 一定要是-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-的，否-{zh-hans:则; zh-tw:則}-可以-{zh-hans:构; zh-tw:構}-造反例。比如-{zh-hans:说; zh-tw:說}-在-{zh-hans:区间; zh-tw:區間}- [0,1] 上的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列 {xⁿ}。-{zh-hans:这; zh-tw:這}-是一-{zh-hans:个单调递减; zh-tw:個單調遞減}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-，逐-{zh-hans:点; zh-tw:點}-收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-到函-{zh-hans:数; zh-tw:數}- f ：-{zh-hans:当; zh-tw:當}- x -{zh-hans:属于; zh-tw:屬於}- [0,1) -{zh-hans:时; zh-tw:時}-f(x) 等-{zh-hans:于; zh-tw:於}- 0 ，f(1) 等-{zh-hans:于; zh-tw:於}- 1。但-{zh-hans:这个; zh-tw:這個}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列不是一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-的，因-{zh-hans:为; zh-tw:為}- f 不-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-。

-{zh-hans:证; zh-tw:證}-明

我-{zh-hans:们对单调递; zh-tw:們對單調遞}-增的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列作-{zh-hans:证; zh-tw:證}-明：-{zh-hans:对于; zh-tw:對於}-任意 $\epsilon >0$ ，-{zh-hans:对; zh-tw:對}-每-{zh-hans:个; zh-tw:個}- n ，-{zh-hans:设; zh-tw:設}- $g_n=f-f_n$ 再-{zh-hans:设; zh-tw:設}-$E_n$-{zh-hans:为; zh-tw:為}-使得$g_n(x)<\epsilon .$ 的$x\in X$。-{zh-hans:显; zh-tw:顯}-然每-{zh-hans:个; zh-tw:個}-$g_n$ 都-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-，-{zh-hans:于; zh-tw:於}-是每-{zh-hans:个; zh-tw:個}-$E_n$ 都是-{zh-hans:开; zh-tw:開}-集（在拓-{zh-hans:扑; zh-tw:撲}-空-{zh-hans:间; zh-tw:間}-中，-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-被定-{zh-hans:义为; zh-tw:義為}-使得-{zh-hans:开; zh-tw:開}-集的原像都是-{zh-hans:开; zh-tw:開}-集的函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-，可以-{zh-hans:证; zh-tw:證}-明-{zh-hans:这种; zh-tw:這種}-定-{zh-hans:义; zh-tw:義}-和一般的-{zh-hans:连续; zh-tw:連續}-定-{zh-hans:义; zh-tw:義}-是等-{zh-hans:价; zh-tw:價}-的，而$[0,\epsilon )$是正-{zh-hans:实数; zh-tw:實數}-集中的-{zh-hans:开; zh-tw:開}-集）。函-{zh-hans:数; zh-tw:數}-列{$g_n$} 是-{zh-hans:单调递减; zh-tw:單調遞減}-的，因此$E_n$ 是$E_{n+1}$ 的子集。又由-{zh-hans:于; zh-tw:於}- $f_n$ 逐-{zh-hans:点; zh-tw:點}-收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-到 f ，所有（$E_n$） 的-{zh-hans:并; zh-tw:並}-集是 X 的一-{zh-hans:个; zh-tw:個}--{zh-hans:开; zh-tw:開}-覆-{zh-hans:盖; zh-tw:蓋}-。但是 X 是一-{zh-hans:个; zh-tw:個}--{zh-hans:紧; zh-tw:緊}-集-{zh-hans:于; zh-tw:於}-是存在正整-{zh-hans:数; zh-tw:數}- N 使得$E_N=X$。因此-{zh-hans:对; zh-tw:對}-所有 $n>N$，-{zh-hans:对; zh-tw:對}-所有的 $x\in X$，都有 $0<g_n(x)=f(x)-f_n(x)<\epsilon$，-{zh-hans:于; zh-tw:於}-是{$f_n$} 一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}--{zh-hans:于; zh-tw:於}- f 。

-{zh-hans:参见; zh-tw:參見}-

• 拓-{zh-hans:扑; zh-tw:撲}-空-{zh-hans:间; zh-tw:間}-
• 一致收-{zh-hans:敛; zh-tw:斂}-