貝爾性質

若一個拓樸空間$X$的子集合$A$有貝爾性質，或是一個幾乎開集，就表示這集合與開集之間的差為一個Template:Link-en；換句話說，若存在一個開集合$U\subseteq X$使得$A△U$為貧乏集（此處的$△$為對稱差），那麼就說$A$有貝爾性質。

定義

若一個拓樸空間$X$的子集合$A$是一個有貝爾性質的幾乎開集，那就表示存在一個$U\subseteq X$使得$A△U$為貧乏集，此處的$△$為對稱差；此外若$A$有限制意義下的貝爾性質的話，就表示說對於任意$X$的子集合$E$而言，$A$跟$E$的交集$A\cap E$相對於$E$有貝爾性質。

性質

有貝爾性質的集合構成集族為一個σ-代数，也就是說，幾乎開集的補集也是幾乎開集，且任何可數多個幾乎開集的聯集或交集也是幾乎開集；此外，由於空集合本身是貧乏集，因此所有的開集都是幾乎開集之故，因此所有的博雷爾集都是幾乎開集。

若一個Template:Link-en的子集合有貝爾性質，那麼與其對應的Template:Link-en是Template:Link-en。此命題的逆命題一般不成立，然而若一個Template:Link-en$\mathrm{\Gamma }$中的所有遊戲都是決定的，那$\mathrm{\Gamma }$中的每個集合都有貝爾性質，也就是說根據由足夠大的基數推導而出的Template:Link-en，波蘭空間中所有的Template:Link-en都有貝爾性質。

利用選擇公理，可知一些實數的子集不具貝爾性質，一個沒有貝爾性質的實數子集的具體的例子是維塔利集合。實際上選擇公理就已足以證明這點：根據布尔素理想定理，自然數集合上存在有一個非主理想超濾子，而每一個有如此性質的超濾子，都可在以二進制表示實數的狀況下，用以導出一個沒有貝爾性質的實數集。

參見

• Template:Link-en
• Template:Annotated link
• Template:Annotated link

外部連結

• Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property Template:Wayback