變分法基本引理

在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（Template:Lang）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（Template:Lang）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。

敘述

$C^{k}$ 代表 $k$ 阶导数连续（ $k$ 阶光滑）的函数空间， $C^{\infty}$ 代表无限光滑的函数空间。

變分法基本引理：

設 $f (x) \in C^{\infty} [a, b]$

若任意 $h (x) \in C^{\infty} [a, b]$ 滿足 $h (a) = h (b) = 0$ 成立

\int_{a}^{b} f (x) h (x) d x = 0

則 $∀ x \in (a, b) : f (x) = 0$ 。

設 $f (x) \in C^{\infty} [a, b]$ 且 $f (x) \neq 0$ ，

因為只要存在一個不滿足 $\int_{a}^{b} f (x) h (x) d x = 0$ 的 $h (x)$ ，就可以證明 $f (x) = 0$ ，因此我們只須證明其中一個特例。

令 $r (x)$ 滿足下列兩個條件：

$r (a) = r (b) = 0$ ；

$∀ x \in (a, b) : r (x) > 0$ ；

並且令 $h (x) = r (x) f (x)$ 。

由 $h (x) = r (x) f (x)$ 可得到

0 = \int_{a}^{b} f (x) h (x) d x = \int_{a}^{b} r (x) f (x)^{2} d x

。

因為 $r (x)$ 在 $(a, b)$ 是正值，所以 $f (x)$ 必須恆等於 0 ，與假設 $f (x) \neq 0$ 矛盾。

故 $∀ x \in (a, b) : f (x) = 0$ 。

這引理可用來證明泛函

J [f (t, y, \dot{y})] = \int_{x_{0}}^{x_{1}} f (t, y, \dot{y}) d t

\frac{d}{d t} (\frac{\partial f (t, y, \dot{y})}{\partial \dot{y}}) - \frac{\partial f (t, y, \dot{y})}{\partial y} = 0

的弱解。

歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。