複化

Template:NoteTA 數學中，實數域上的向量空間V的複化是在複數域上對應的向量空間V^C，就是說它有與V相同的維數，V在實數域上的基可以作為V^C在複數域上的基。

例如設V包含m×n實矩陣，則V^C包含m×n複矩陣。

不依賴於基的定義是取V和複數在實域上的張量積：

$V^C=V{\otimes }_{ℝ}ℂ$。

複向量空間$V^C$有額外結構：典範複共軛運算$\varphi$。因為$V$以$v\mapsto v\otimes 1$包含在$V^C$內，複共軛運算可定義為$\varphi (v\otimes z)=v\otimes z^{*}$。這運算常記作$w^{*}$或$\bar{w}$。

相反地，給出複向量空間$W$，並有複共軛運算$\varphi$，$W$作為複向量空間同構於$W$的實子空間$S=\{w\in W:\varphi (w)=w\}$的複化$S^C$。也就是說，所有帶有複共軛運算的複向量空間都是實向量空間的複化。

例如$W=ℂ$有標準共軛運算$\varphi (z)=z^{*}$，那麼$S=ℝ$。