若尔当矩阵

在数学中，特别是矩阵论裡，若尔当矩阵是矩阵的一种，又称若尔当块（作为另一个矩阵的一部分时）。当系数取在某个环$R$ 上时（其中的零元和乘法单位元分别记为0和1），若尔当矩阵可以写成如下形式：

$\left[\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \lambda & 1\\ 0& 0& 0& 0& \lambda \end{array}\right]$

其对角线上全都是同一个元素$\lambda \in R$，而对角线上一排（即所有第$k$行第$k+1$列）都是1，其余位置上都是0。

可以看到只要确定了对角线上的系数$\lambda$ 和矩阵的大小$n$，就确定了一个若尔当矩阵。这样一个若尔当矩阵被记为$J_{\lambda ,n}$。

如果一个分块对角矩阵的每一个分块都是若尔当块，那么这个矩阵叫做若尔当形矩阵，或若尔当标准型。例如以下矩阵：

$J=\left[\begin{array}{ccccc}{J}_{{\lambda }_1,m_1}& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& J_{{\lambda }_2,m_2}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& J_{{\lambda }_{s-1},m_{s-1}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& J_{{\lambda }_s,m_s}\end{array}\right]$

以上的若尔当形矩阵也可以记成$J=J_{{\lambda }_1,m_1}\oplus J_{{\lambda }_2,m_2}\oplus \dots \oplus J_{{\lambda }_N,m_N}$

给定的一个若尔当矩阵$J_{\lambda ,n}$ 可以分解为：

$J_{\lambda ,n}=\lambda I_n+N$

其中$I_n$ 是n 维的单位矩阵，而N 则是一个幂零矩阵：

$N=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

矩阵N 满足$N^n=0$。

参见

• 若尔当-谢瓦列分解
• 若尔当标准型
• 全纯函数
• 矩阵指数
• 矩阵对数
• 动态系统
• 分歧理论
• 状态空间

参考来源

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