类数公式

Template:多個問題在数论中，类数公式涉及了许多重要的不变量，是数域到其特殊的戴德金zeta函数赋值。

类数公式的一般性陈述

数域 K 有扩张[K:Q]=r=r₁+2r₂, $r_{1}$ 为 K的实素点个数, $2 r_{2}$ 为 K的复素点个数. K戴德金zeta函数记为: $ζ_{K} (s)$ 则有下列不变量：

$h_{K}$ 为K的理想类群的阶
${Reg}_{K}$ K的素点
$w_{K}$ 为K的单位根个数
DK 为K在K/Q扩张的判别式
- 定理1（类数公式）数域 K 的戴德金zeta函数 $ζ_{K} (s)$ 绝对收敛，并对复平面 $ℜ (s) > 1$ ，且s =1时，只有一个极点的亚纯函数，其留数为：

\lim_{s \to 1} (s - 1) ζ_{K} (s) = \frac{2^{r_{1}} \cdot (2 π)^{r_{2}} \cdot h_{K} \cdot {Reg}_{K}}{w_{K} \cdot \sqrt{| D_{K} |}}

这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下，例如当K是分圆域的扩张，也有简化的类数公式。

以下参考达文波特。[1]狄利克雷在1839年证明了第一类数公式，但它是关于二次型的类数而不是理想类的证明。设d是一个基本单位的判别式，写判别ð二次型的等价类数h为（D）。 $χ = (\frac{d}{m})$ 是Kronecker符号，则χ是Dirichlet特征。记χ的LDirichlet L序列为L(s, χ)，

对于d>0，让t> 0，u>0 则满足u是最小的解Pell方程 $t^{2} - d u^{2} = 4$ ，如记: $ϵ = \frac{1}{2} (t + u \sqrt{d}) .$ （ε也是实2次域的基本单位或基本单位的平方），对于d<0，记w为判别式d的二次型的自同构个数，则：

w = {\begin{matrix} 2, & d < - 4; \\ 4, & d = - 4; \\ 6, & d = - 3 . \end{matrix}

然后狄利克雷证明出：

h (d) = {\begin{matrix} \frac{w \sqrt{| d |}}{2 π} L (1, χ), & d < 0; \\ \frac{\sqrt{d}}{\ln ϵ} L (1, χ), & d > 0 . \end{matrix}

这是上述定理1一个特殊情况：只对一个二次域K戴德金 zeta函数的结论： $ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ)$ , 留数为 $L (1, χ)$ .狄利克雷也证明了，L序列可以写成有限形式，从而类数也可以写成有限形式。类数有限的形式为：

L (1, χ) = {\begin{matrix} - \frac{π}{| d |^{3 / 2}} \sum_{m = 1}^{| d |} m (\frac{d}{m}), & d < 0; \\ - \frac{1}{d^{1 / 2}} \sum_{m = 1}^{d} (\frac{d}{m}) \ln \sin \frac{m π}{d}, & d > 0 . \end{matrix}