简单函数

简单函数（Template:Lang-en）又稱單純函數，是实分析中只取有限個實值的可测函数。

定义

集合 $\mathrm{\Omega }$ 上有Σ-代数 $\mathrm{\Sigma }$ ，若對函数 $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ ，存在 $A_1,A_2,\cdots ,A_n\in \mathrm{\Sigma }$ 和 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in ℝ$，使得：

$f(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x).$

其中 ${\mathrm{𝟏}}_A$ 代表集合 $A$ 的指示函數，即：

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if }x\in A\\ 0,& \text{if }x\in ̸A\end{array}$

則 $f$ 稱為簡單函數，也就是說，简单函数是可测集合（即 $\mathrm{\Sigma }$ 的元素）的指示函数的有限线性组合。

範例

• 半开区间[1,9)上的取整函数，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
• 实直线上的狄利克雷函数，如果x是有理数，则函数的值为1，否则为0。

性质

根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

简单函数的积分

测度 $\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty })$ 定义在 $\mathrm{\Omega }$ 的Σ-代数 $\mathrm{\Sigma }$ 上，若簡單函數 $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ 可表達為

$f(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x)$

則 $f$ 於某個 $E\in \mathrm{\Sigma }$ 上，對測度 $\mu$ 的勒贝格积分定義為：

$\underset{E}{\int }fd\mu :=\sum _{k=1}^n{a}_k\mu (A_k\cap E)$

参考文献

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.