笛卡爾數

笛卡爾數（Descartes number）指的是假若將其中一個合成數因數當成質數處理，就會變成完全數的奇數。這類數字以勒内·笛卡爾為名，而這是因為笛卡爾注意到說假若把Template:Math當成質數處理的話，那麼Template:Math就會滿足完全數的條件之故，而這是因為假若把Template:Math當成質數處理的話，其正因數的和就會滿足下式：

$\begin{array}{cc}\sigma (D)& =(3^2+3+1)\cdot (7^2+7+1)\cdot (11^2+11+1)\cdot (13^2+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\ & =3^2\cdot 7\cdot 13\cdot 19^2\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot (19^2\cdot 61)=2\cdot (3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot 22021=2D,\end{array}$

當然在事實上，22021是一個合成數（Template:Math），因此198585576189並不是完全數，而198585576189是笛卡爾數的一個例子。

笛卡爾數可定義為滿足Template:Math的奇數Template:Math，在其中Template:Math與Template:Math互質且Template:Math，而此處的Template:Math是一個被當成質數處理但實質上是合成數的「假質數」（spoof prime）。上面給出的例子是截至目前為止唯一已知的笛卡爾數的例子。

若Template:Math是一個殆完全數，Template:NoteTag，也就是說若Template:Math且Template:Math是一個「假質數」，那麼Template:Math就會是一個笛卡爾數，而這是因為Template:Math之故；而若Template:Math是一個質數的話，那Template:Math就會是一個奇完全數。

性質

班柯斯（Banks）等人在2008年證明說，若Template:Math是一個無立方因子數，且Template:Math不能為$3$所除盡，那麼Template:Math就會有超過一百萬個彼此相異的質因數。

推廣

約翰·渥伊多（John Voight）提出一個容許負整數的推廣版笛卡爾數，他發現說在考慮負整數的狀況下，$3^4{7}^{2}11^{2}19^2(-127{)}^1$這數字會符合笛卡爾數的定義。之後一群來自楊百翰大學的學者發現了更多類似的例子，並加入了另一類的「假質數」，而這另一類的「假質數」允許在質因數分解時其中一個質數與另一個質數相同。

參見

• Template:Link-en，另一類的殆完全數

參考資料

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