積度量

在數學裡，積度量（product metric）是在兩個以上度量空間之笛卡爾積內的度量。n 個度量空間之笛卡爾積的積度量，可視為是將 n 個子空間的範數作為 n 維向量之各分量，取其 p-範數所得之值。

$d_p({𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n)=\Vert (d_1({𝐱}_1),\dots ,d_n({𝐱}_n)){\Vert }_p$

定義

令 $(X,d_X)$ 與 $(Y,d_Y)$ 為度量空間，且令 $1\le p\le +\mathrm{\infty }$。$X\times Y$ 上之 p-積度量 $d_p$ 定義為

對於 $x_1,x_2\in X$ 及 $y_1,y_2\in Y$，

$d_p((x_1,y_1),(x_2,y_2)):={(d_X(x_1,x_2{)}^p+d_Y(y_1,y_2{)}^p)}^{1/p}$ for $1\le p<\mathrm{\infty };$

$d_{\mathrm{\infty }}((x_1,y_1),(x_2,y_2)):=\max \{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\}.$

範數的選擇

在歐氏空間裡，使用 L₂ 範數會在積空間裡產生歐幾里得度量；不過，選擇 p 的其他值也會形成其他拓撲等價的度量空間。在度量空間範疇（具有利普希茨常數為 1 的利普希茨映射）裡，使用上確界範數。

參考資料

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