矩阵多项式

Template:Distinguish 矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念，指由方块矩阵作为不定元的多项式，或由方块矩阵作为变量的多项式函数。

定义

给定自然数Template:Math、系数环$𝐑$以及Template:Math阶方块矩阵Template:Math，一个关于矩阵Template:Math的Template:Math次的矩阵多项式通常写作：

$P(A)={\alpha }_0{𝐈}_n+{\alpha }_{1}A+{\alpha }_2{A}^2+\cdots +{\alpha }_d{A}^d=\sum _{i=0}^d{\alpha }_i{A}^i$

其中的${\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_d$都是系数环$𝐑$中的元素。这其实是可以看作将$𝐑[\lambda ]$中的多项式：

$P(\lambda )={\alpha }_0+{\alpha }_1\lambda +{\alpha }_2{\lambda }^2+\cdots +{\alpha }_d{\lambda }^d=\sum _{i=0}^d{\alpha }_i{\lambda }^i$

中的不定元$\lambda$换成了一个Template:Math阶方块矩阵Template:Math后得到的结果。Template:Math和Template:Math一样，也是一个Template:Math阶方块矩阵。

性质

给定一个Template:Mvar阶方块矩阵Template:Mvar，如果一个非零多项式$f\in 𝐑[\lambda ]$满足：$f(A)=0$，则称多项式Template:Mvar是矩阵Template:Mvar的零化多项式。根据开莱－哈密尔顿定理，特征多项式${\mathrm{\Pi }}_A(\lambda )$满足${\mathrm{\Pi }}_A(A)=0$，所以${\mathrm{\Pi }}_A$是一个零化多项式。所有零化多项式中次数最低的称为Template:Mvar的最小多项式，记作${\pi }_A$。所有关于Template:Mvar的矩阵多项式Template:Mvar都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于${\pi }_A$的多项式。事实上，存在多项式$Q,R\in 𝐑[\lambda ]$，使得：

$P=Q{\pi }_A+R$

并且其中Template:Mvar的次数严格小于${\pi }_A$的次数。所以：

$P(A)=Q(A){\pi }_A(A)+R(A)=Q(A)\cdot 0+R(A)=R(A).$