相伴数列定理

Template:Unreferenced Template:Notability Unreferenced 在数学中，相伴数列定理涉及实数列，它指出相伴数列收敛于同一极限。

定义

如果两个实数列 ($a_n$) 和 ($b_n$) 一个单调递增无上界，一个单调递减无下界，且二者的差值趋近于0，那么称这两个实数列是相伴数列。

先假设数列 ($a_n$) 是单调递增的，数列 ($b_n$) 是单调递减的。

注意到

有：$\mathrm{\forall }p,q\in \mathbb{Z},a_p<b_q$；特别的，$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},a_n<b_n$

叙述

Template:Math theorem 这个定理可以以如下方式证明：在实数域中，单增有上界的数列必然收敛，这是由最小上界性（非空有上界的实数集必有上确界）给出的。因此，如果在有理数集中寻找有理极限，这个定理不成立。

甚至可以证明，这一性质与上确界性等价（见条目实数的构造）。与单增有上界的数列的性质相比，其优势不仅仅在于证明了数列的收敛性，更在于提供了一个想要的框架。

证明

由$a_n$单调递增，$b_n$单调递减，则可以得到$a_n-b_n$单调递增

二者的差值趋近于0，于是有$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-b_n)=0$, 所以$a_n-b_n\le 0$

又因为$a_n$单调递增，$b_n$单调递减，$a_0\le a_n\le b_n\le b_0$

由单调收敛定理，可以知道$a_n$和$b_n$极限必然存在

由极限的四则运算$li{m}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=li{m}_{n\to +\mathrm{\infty }}(a_n-b_n)+li{m}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n=li{m}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n$

应用

在所有使用二分法的问题中，在实数的十进制展开中，在连分数的书写中以及求积问题（圆的求积、抛物线的求积）问题中，都可以找到相伴数列定理的存在。

两个数列 ($a_n$) 和 ($b_n$) 是相伴数列，当且仅当由 $u_{2k}=b_k-a_k$ 和 $u_{2k+1}=b_{k+1}-a_k$ 定义的数列 ($u_n$) 符号恒定、绝对值严格单调递减且趋近于零；换言之，当通项为 $(-1{)}^n{u}_n$ 的数列满足交错级数的收敛原则时，两个数列 ($a_n$) 和 ($b_n$) 是相伴数列。因此，莱布尼茨关于这种特殊的交错级数的审敛法等价于相伴数列定理。

參見

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