珠算

Template:Infobox intangible heritage 珠算，指的是用算盘進行計算，一般特指用中式算盤进行計算。珠算领域對四則運算統整出了一套系統的計算規則，統稱珠算法則。其源於中國籌算，在東漢徐岳所著《數術記遺》記載上古十四種算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。

2013年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。

術語

珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之：

• 算盤術語
  • 框
  • 樑
  • 上珠
  • 下珠
• 運珠相關
• 算術術語
  • 加算：即加法計算。
    • 被加數： a
    • 加數： b
    • 和： $a+b=c$ 的 c
  • 減算：即減法計算
    • 被減數： a
    • 減數： b
    • 差： $a-b=c$ 的 c
  • 乘算：即乘法計算
    • 實、被乘數： a
    • 法、乘數： b
    • 積： $a\times b=c$ 的 c
  • 除算：即除法計算
    • 實、被除數： a
    • 法、除數： b
    • 商： $a÷b=c$ 的 c
    • 餘： $a÷b=c..d$ 的 d

運珠

有兩種方式：

1. 雙手撥珠，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。
2. 單手運珠，以台灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。

二五珠算盤

Template:Cleanup-jargon 一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是：

• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。
• 中指拨上珠靠梁和离梁。

一四珠算盤

（或一五珠算盤）：兩个手指的基本分工是：

• 食指拨上珠向下靠梁。
• 食指拨上珠向上离梁。
• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。

一五珠算盤

兩个手指的基本分工是：

• 食指拨上珠向下靠梁。
• 食指拨上珠向上离梁。應該是拇指
• 拇指拨下珠向上靠梁。
• 食指拨下珠向下离梁。

算法

布数

布数是指表現數字的算珠擺放方式。

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0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

加算

方法為同位值相加，逢十進一，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。

（例）1937+284

置數		百位檔相加 $+200$		十位檔相加 $+80$		個位檔相加 $+4$
Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤
$1937$		$2137$		$2217$		$2221$

口訣

可輔助學習，熟練後亦可不用。

加数	不进位加		进位加
	直加	满五加	进十加	破五进十加
一	一上一	一下五去四	一去九进一
二	二上二	二下五去三	二去八进一
三	三上三	三下五去二	三去七进一
四	四上四	四下五去一	四去六进一
五	五上五		五去五进一
六	六上六		六去四进一	六上一去五进一
七	七上七		七去三进一	七上二去五进一
八	八上八		八去二进一	八上三去五进一
九	九上九		九去一进一	九上四去五进一

以 +3 為例:

• 「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。
• 「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。
• 「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。

其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

減算

方法為同位值相減，不夠借位，計算時由高位檔向低位檔依次相減。

（例）2756-957

置數		百位檔相減 $-900$		十位檔相減 $-50$		個位檔相減 $-7$
Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤
$2756$		$1856$		$1806$		$1799$

口诀

可輔助學習，熟練後亦可不用。

减数	不退位减		退位减
	直减	破五减	退位减	退十补五减
一	一去一	一上四去五	一退一还九
二	二去二	二上三去五	二退一还八
三	三去三	三上二去五	三退一还七
四	四去四	四上一去五	四退一还六
五	五去五		五退一还五
六	六去六		六退一还四	六退一还五去一
七	七去七		七退一还三	七退一还五去二
八	八去八		八退一还二	八退一还五去三
九	九去九		九退一还一	九退一还五去四

以 -3 為例:

「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。 「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。 「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。

負數

遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。

乘算

基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97

$32*97$

$=32*(90+7)$

$=32*90+32*7$

更進一步分解，

$=(30+2)*90+(30+2)*7$

$=30*90+2*90+30*7+2*7$

計算時，不用考慮位值，則只需計算一位×一位，如：30×90 ，只需計算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個一位×一位的結果先計算出來，此即為乘法口诀——九九歌。

而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類：

• 看頭乘法，被乘數、乘數放置盤面上。
  • 看頭乘法，又稱見乘法，乘法速算法。
• 破頭乘法，被乘數、乘數不放置盤面上。
  • 破頭乘法，又稱頭乘法
  • 破頭乘法別法，又稱新頭乘法，或稱隔位乘法。

此外，另有一種技巧 湊倍乘法，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。

其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多只有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「×1、×2、×5的某種組合」如：被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「×1、×2、×5」這三種運算是容易心算的。

看頭乘法

破頭乘法

新頭乘法

（例）32×97

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32		算「2」字		2×90		+2×7
	→	Template:一四式算盤/直接輸入	→	Template:一四式算盤/直接輸入	→	Template:一四式算盤/直接輸入
		算「3」字		+30×90		+30×7	=3104

湊倍乘法

除算

方法跟長除法類似，即逐位（由高位向低位）來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商（或試商）和減積。

計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。

商除法

以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。

（例）$22÷7$

• 第一位

置數			估商 估為 $\mathrm{𝟑}$			減積 $-3\times 7=-\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟏}$
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$000$ ($3.00$)	$\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟐}00$ ($22.00$)		$\mathrm{𝟑}00$ ($3.00$)	$2200$ ($22.00$)		$300$ ($3.00$)	$\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟏}00$ ($1.00$)
$\begin{array}{cc}& \\ 7& \overline{)\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟐}}\end{array}$			$\begin{array}{cc}& \mathrm{𝟑}\\ 7& \overline{)22}\end{array}$			$\begin{array}{cc}& 3\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟏}}\\ & \mathrm{𝟏}\end{array}$

• 第二位

			估商 估為 $\mathrm{𝟏}$			減積 $-1\times 7=-\mathrm{𝟕}$
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$300$ ($3.00$)	$0100$ ($1.00$)		$3\mathrm{𝟏}0$ ($3.10$)	$0100$ ($1.00$)		$310$ ($3.10$)	$0\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟑}0$ ($0.30$)
$\begin{array}{cc}& 3_{.}\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-21}\\ & 10\end{array}$			$\begin{array}{cc}& 3_{.}\mathrm{𝟏}\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-21}\\ & 10\end{array}$			$\begin{array}{cc}& 3_{.}1\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-21}\\ & 10\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟕}}\\ & \mathrm{𝟑}\end{array}$

• 第三位

			估商 估為 $\mathrm{𝟒}$			減積 $-4\times 7=\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟖}$
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$310$ ($3.10$)	$0030$ ($0.30$)		$31\mathrm{𝟒}$ ($3.14$)	$0030$ ($0.30$)		$314$ ($3.14$)	$00\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟐}$ ($0.02$)
$\begin{array}{cc}& 3_{.}1\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-217}\\ & 30\end{array}$			$\begin{array}{cc}& 3_{.}1\mathrm{𝟒}\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-217}\\ & 30\end{array}$			$\begin{array}{cc}& 3_{.}14\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-217}\\ & 30\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟖}}\\ & \mathrm{𝟐}\end{array}$

得到 $22÷7=3.14..0.02$。

而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商。

以密率為例，說明完整的商除法。

以 $355÷113$ 為例

• 第一位

置數		估商 估為 $\mathrm{𝟑}$。夠除，隔位置商。		減積 $-3\times 113=-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟗}$
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$00$"$355000000$		$\mathrm{𝟑}0$"$355000000$		$30$"$\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}000000$
$\begin{array}{cc}& \\ 113& \overline{)\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟓}}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& \mathrm{𝟑}\\ 113& \overline{)355}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟗}}\\ & \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}\end{array}$

• 第二位

前次結果		估商 估為 $\mathrm{𝟏}$。夠除，隔位置商。		減積 $-1\times 113=-113$
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$310$"$16000000$		$3\mathrm{𝟏}0$"$16000000$		$310$"$\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟒}\mathrm{𝟕}00000$
$\begin{array}{cc}& 3\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-339}\\ & 16\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.\mathrm{𝟏}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-339}\\ & 160\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-339}\\ & 160\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟑}}\\ & \mathrm{𝟒}\mathrm{𝟕}\end{array}$

• 第三位

前次結果		估商 估為 $\mathrm{𝟒}$。夠除，隔位置商。		減積 $-4\times 113=-452$
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$3100$"$4700000$		$31\mathrm{𝟒}0$"$4700000$		$3140$"$\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}0000$
$\begin{array}{cc}& 3.1\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3503}\\ & 470\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1\mathrm{𝟒}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3503}\\ & 470\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3503}\\ & 470\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟒}\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟐}}\\ & \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}\end{array}$

• 第四位

前次結果		估商 估為 $\mathrm{𝟏}$。夠除，隔位置商。		減積 $-1\times 113=-113$
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$31400$"$180000$		$314\mathrm{𝟏}0$"$180000$		$31410$"$\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟔}\mathrm{𝟕}000$
$\begin{array}{cc}& 3.14\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.82}\\ & 180\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14\mathrm{𝟏}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.82}\\ & 180\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.82}\\ & 180\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟑}}\\ & \mathrm{𝟔}\mathrm{𝟕}\end{array}$

• 第五位

前次結果		估商 估為 $\mathrm{𝟓}$。夠除，隔位置商。		減積 $-5\times 113=-565$
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$314100$"$67000$		$3141\mathrm{𝟓}0$"$67000$		$314150$"$\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟓}00$
$\begin{array}{cc}& 3.141\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.933}\\ & 67\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141\mathrm{𝟓}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.933}\\ & 670\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1415\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.933}\\ & 670\\ & \underset{\_}{-565}\\ & 105\end{array}$

• 第六位。注意，這位是不夠除，挨位置商。

前次結果		估商 估為 $\mathrm{𝟗}$。不夠除，挨位置商。		減積 $-9\times 113=-1017$
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$314150$"$10500$		$31415\mathrm{𝟗}$"$10500$		$314159$"$\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟑}0$
$\begin{array}{cc}& 3.1415\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.9895}\\ & 105\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1415\mathrm{𝟗}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.9895}\\ & 1050\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14159\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.9895}\\ & 105\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟕}}\\ & \mathrm{𝟑}\mathrm{𝟑}\end{array}$

• 第七位。

前次結果		估商 估為 $\mathrm{𝟐}$。夠除，隔位置商。		減積 $-2\times 113=-226$
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$31415900$"$330$		$314159\mathrm{𝟐}0$"$330$		$31415920$"$\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟒}$
$\begin{array}{cc}& 3.14159\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.99967}\\ & 33\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14159\mathrm{𝟐}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.99967}\\ & 330\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141592\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354.99967}\\ & 330\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟔}}\\ & \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟒}\end{array}$

得 $355÷113=3.141592..0.000104$

修正商

計算過程中，若發現所估的商過大，則要退商；若估商太小，則要補商。

歸除法

其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。

除數為一位的稱為單歸法，除數為多位的，則為歸除法。

九歸訣

目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》卷上《歸除歌訣》：「 一歸如一進、見一進成十；
二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十；
三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十；
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十；
五歸添一倍、逢五進成十；
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十；
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十；
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十；
九歸隨身下、逢九進成十
」

整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。
以三一三十一為例，第一個數字為三，是除數的首數為三，第二個數字為一，是被除數首數為一，數字雖為 1，但計算的是 $1\times 10$ 。 而三十一意指商為 3 ，餘為 1。同樣的，三二六十二是指$20÷3=6..2$。逢三進成十是指$30÷3=10..0$。
有些語句是用下加幾來表示，是指商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾。以七二下加六為例，$20÷7=2..6$。 五歸添一倍是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如：$30÷5=6$）

其中，部分口訣，也成了成語。如二一添作五意味兩者平分，三一三十一意味三者平分。

其他版本

也有幾種不同的版本，如簡化版：「
一歸如一進，見一進成十；
二一添作五，逢二進成十；
三一三十一，三二六十二，逢三進成十；
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十；
五歸添一倍，逢五進成十；
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十；
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十；
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十；
九歸隨身下，逢九進成十。
」

或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三餘一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「
一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。
三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。
四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。
五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。
六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。
七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。
八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。
九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。
」

單歸法（除數為一位）

以約率為例。

（例） $22÷7$

七歸

置數		七二下加六 商設為 $2$ 下一檔 $+6$		逢七進一 商$+1$ 本檔$-1$。		七一下加三 商設為 $1$ 下一檔 $+3$		七三四餘二 商設為 $4$ 下一檔 $+2$
Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤	→	Template:一四式算盤
${\displaystyle }$"$2200$		$\mathrm{𝟐}$"$\mathrm{𝟖}00$		$\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟏}$"$00$		$3\mathrm{𝟏}$"$\mathrm{𝟑}0$		$31\mathrm{𝟒}$"$\mathrm{𝟐}$
$\begin{array}{cc}7& \overline{)22}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& \mathrm{𝟐}\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟒}}\\ & \mathrm{𝟖}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& \mathrm{𝟑}\\ 7& \overline{)22}\\ & -14\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟕}}\\ & \mathrm{𝟏}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.\mathrm{𝟏}\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-21}\\ & 10\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟕}}\\ & \mathrm{𝟑}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1\mathrm{𝟒}\\ 7& \overline{)22}\\ & \underset{\_}{-21.7}\\ & 30\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟖}}\\ & \mathrm{𝟐}\end{array}$

得 $22÷7=3.14..0.02$

歸除法（除數為多位）

跟單歸法類似，也是借助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

以 $12345÷321$ 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為歸，除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話，稱作3歸21除，意味著用 3歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積。

減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要增商，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需退商，則有退商口訣：

• 一歸：無除起一下還一
• 二歸：無除起一下還二
• 三歸：無除起一下還三
• 四歸：無除起一下還四
• 五歸：無除起一下還五
• 六歸：無除起一下還六
• 七歸：無除起一下還七
• 八歸：無除起一下還八
• 九歸：無除起一下還九

這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。

另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用撞歸口訣：

• 一歸：見一無除撞九一
• 二歸：見二無除撞九二
• 三歸：見三無除撞九三
• 四歸：見四無除撞九四
• 五歸：見五無除撞九五
• 六歸：見六無除撞九六
• 七歸：見七無除撞九七
• 八歸：見八無除撞九八
• 九歸：見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n 。

以密率為例，因為除數為 $113$，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下：

• 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
• 退商口訣：無除起一下還一。
• 撞歸口訣：見一無除撞九一。

（例）$355÷113$

• 第一位

一歸十三除

置數		逢三進三 商為 $\mathrm{𝟑}$		以十三除減積 $-3\times 13=-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟗}$。
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$0$"$3550000000$		$\mathrm{𝟑}$"$\mathrm{𝟎}550000000$		$3$"$0\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}0000000$
$\begin{array}{cc}& \\ 113& \overline{)\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟓}}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& \mathrm{𝟑}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟎}}\\ & \mathrm{𝟓}\mathrm{𝟓}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3\\ 113& \overline{)355}\\ & -300\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟗}}\\ & \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}\end{array}$

• 第二位

一歸十三除

前次結果		逢一進一 商為 $\mathrm{𝟏}$		以十三除減積 $-1\times 13=-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟑}$。
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$30$"$160000000$		$3\mathrm{𝟏}$"$\mathrm{𝟎}60000000$		$31$"$0\mathrm{𝟒}\mathrm{𝟕}000000$
$\begin{array}{cc}& 3\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-339}\\ & 16\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.\mathrm{𝟏}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-339}\\ & 160\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟎}}\\ & \mathrm{𝟎}60\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-339}\\ & 160\\ & -100\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟑}}\\ & \mathrm{𝟒}\mathrm{𝟕}\end{array}$

• 第三位

一歸十三除

前次結果		逢四進四 商為 $\mathrm{𝟒}$		以十三除減積 $-4\times 13=-\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟐}$。
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$310$"$4700000$		$31\mathrm{𝟒}$"$\mathrm{𝟎}700000$		$314$"$0\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}0000$
$\begin{array}{cc}& 3.1\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3503}\\ & 47\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1\mathrm{𝟒}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3503}\\ & 470\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟒}00}\\ & 70\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3503}\\ & 470\\ & -400\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟐}}\\ & \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}\end{array}$

• 第四位

一歸十三除

前次結果		逢一進一 商為 $\mathrm{𝟏}$		以十三除減積 $-1\times 13=-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟑}$。
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$3140$"$180000$		$314\mathrm{𝟏}$"$\mathrm{𝟎}80000$		$3141$"$0\mathrm{𝟔}\mathrm{𝟕}000$
$\begin{array}{cc}& 3.14\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35482}\\ & 18\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35482}\\ & 180\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟎}}\\ & \mathrm{𝟎}80\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35482}\\ & 180\\ & -100\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟑}}\\ & \mathrm{𝟔}\mathrm{𝟕}\end{array}$

• 第五位

一歸十三除

前次結果		逢六進六 商為 $\mathrm{𝟔}$		以十三除減積 $\begin{array}{cc}-6\times 13& =-6\times (10+3)\\ & =-\mathrm{𝟔}\mathrm{𝟎}-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}\end{array}$		加回減積		退商 無除起一下還一 商$-1$為 $\mathrm{𝟓}$，下一檔$+1$		以十三除減積 $-5\times 13=-\mathrm{𝟔}\mathrm{𝟓}$。
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$31410$"$67000$		$3141\mathrm{𝟔}$"$\mathrm{𝟎}7000$		$31416$"$0\mathrm{𝟏}000$		$31416$"$0\mathrm{𝟕}000$		$3141\mathrm{𝟓}$"$\mathrm{𝟏}7000$		$31415$"$1\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟓}00$
$\begin{array}{cc}& 3.141\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354933}\\ & 67\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141\mathrm{𝟔}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354933}\\ & 670\\ & \underset{\_}{-600}\\ & \mathrm{𝟎}70\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1416\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354933}\\ & 670\\ & \underset{\_}{-600}\\ & 70\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟔}\mathrm{𝟎}}\\ & \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}& <\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1416\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354933}\\ & 670\\ & \underset{\_}{-600}\\ & 70\\ & -60\\ & \underset{\_}{+\mathrm{𝟔}\mathrm{𝟎}}\\ & \mathrm{𝟕}\mathrm{𝟎}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141\mathrm{𝟓}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354933}\\ & 670\\ & \underset{\_}{-500}\\ & \mathrm{𝟏}70\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141\mathrm{𝟓}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-354933}\\ & 670\\ & -500\\ & \underset{\_}{-65}\\ & 1\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟓}\end{array}$

• 第六位

一歸十三除

前次結果		見一無除撞九一 商為 $\mathrm{𝟗}$，下一檔 $+1$		以十三除減積 $-9\times 13=-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟕}$。
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$31415$"$10500$		$31415\mathrm{𝟗}$"$\mathrm{𝟏}500$		$314159$"$\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟑}0$
$\begin{array}{cc}& 3.1415\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3549895}\\ & 105\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.1415\mathrm{𝟗}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3549895}\\ & 1050\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟗}00}\\ & \mathrm{𝟏}50\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14159\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-3549895}\\ & 1050\\ & -900\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟕}}\\ & \mathrm{𝟑}\mathrm{𝟑}\end{array}$

• 第七位

一歸十三除

前次結果		逢三進三 商為 $\mathrm{𝟑}$		以十三除減積 $\begin{array}{cc}-3\times 13& =-3\times (10+3)\\ & =-\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟎}-\mathrm{𝟗}\end{array}$		加回減積		退商 無除起一下還一 商$-1$為 $\mathrm{𝟐}$，下一檔$+1$		以十三除減積 $-5\times 13=-\mathrm{𝟔}\mathrm{𝟓}$。
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$3141590$"$330$		$314159\mathrm{𝟑}$"$\mathrm{𝟎}30$		$3141593$"$0\mathrm{𝟎}0$		$3141593$"$0\mathrm{𝟑}0$		$314159\mathrm{𝟐}$"$\mathrm{𝟏}30$		$3141592$"$1\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟒}$
$\begin{array}{cc}& 3.14159\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35499967}\\ & 33\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14159\mathrm{𝟑}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35499967}\\ & 330\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟑}00}\\ & \mathrm{𝟎}30\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141593\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35499967}\\ & 330\\ & -300\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟑}0}\\ & 0\mathrm{𝟎}0& <\mathrm{𝟗}\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.141593\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35499967}\\ & 330\\ & -300\\ & -30\\ & \underset{\_}{+\mathrm{𝟑}0}\\ & 0\mathrm{𝟑}0\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14159\mathrm{𝟐}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35499967}\\ & 330\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟐}00}\\ & \mathrm{𝟏}30\end{array}$		$\begin{array}{cc}& 3.14159\mathrm{𝟐}\\ 113& \overline{)355}\\ & \underset{\_}{-35499967}\\ & 330\\ & -200\\ & \underset{\_}{-\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟔}}\\ & 1\mathrm{𝟎}\mathrm{𝟒}\end{array}$

得 $355÷113=3.141592..0.000104$。

湊倍除法

或稱累減除法、大扒皮，首見於《九章詳註比類算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

開平方

開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

驗算

還原驗算法

一、交換律

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：乘數*被乘數=積

二、逆運算

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：積/被乘數=乘數
   除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數

三、尾錯復尾

   只再計算最後幾位數一次

九餘數法

只能驗加法,減法,乘法和乘冪

範例一、 123+456=599

        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579

範例二、 123*456=68934

         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088

範例三、 22*68*53=369780

         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288

範例四、 23^4=367981

         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841

   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
         

九除法

十一除法

二除法

珠算競技

珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。

外部链接

• 珠算全球資訊網 Template:Wayback
• 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會 Template:Wayback
• 世界珠心算网 Template:Wayback

參見

• 算盘
• 籌算
• 心算
• 《算法統宗》