狄拉克算子

Template:多個問題 在数学和量子力学中，狄拉克算子（Template:Lang-en）是一个微分算子，它是二阶微分算子（如拉普拉斯算子）的形式平方根。保罗·狄拉克研究的原始案例是形式分解闵可夫斯基空间的算子，得到一种与狭义相对论兼容的量子理论形式；为了得到由一阶算子产生的拉普拉斯算子，他引入了旋量。

形式定义

一般的，令D是作用于黎曼流形M上的向量丛V的一阶微分算子。如果

$D^2=\mathrm{\Delta },$

其中∆是V上的拉普拉斯算子，则D被称为狄拉克算子。

在高能物理中，这个条件经常被放松：只有D²的二阶部分必须等于拉普拉斯算子。

例子

例1: D=-i∂_x是作用在直线上的切线丛的狄拉克算子。

例2: 我们现在考虑一个物理学中重要的简单丛：一个限制在平面上带有½自旋的粒子的位形空间，这也是一个基本流形。它被表示为波函数ψ: R²→C²

$\psi (x,y)=\left[\begin{array}{c}\chi (x,y)\\ \eta (x,y)\end{array}\right]$

其中x和y是R²上的坐标。χ表示自旋向上粒子的概率幅，η与之类似。所谓的自旋狄拉克算子可以被写为

$D=-i{\sigma }_x{\partial }_x-i{\sigma }_y{\partial }_y,$

其中σ_i 是泡利矩阵。通过泡利矩阵的反对易关系可以知道上面定义的性质是显然的。这些定义了克利福德代数的概念。

旋量场的狄拉克方程的解常被称为调和旋量。

例3: 描述三维空间中自由费米子的传播的狄拉克算子可以写为

$D={\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\equiv \partial /,$

其中用到费曼斜线标记。

例4: 在Template:Link-en中也有狄拉克算子。 在n维欧几里得空间中是

$D=\sum _{j=1}^n{e}_j\frac{\partial }{\partial x_j}$

其中{e_j: j = 1, ..., n}是n维欧几里得空间的标准正交基，考虑Rⁿ嵌入一个克利福德代数。

这是阿蒂亚-辛格-狄拉克算子作用于旋量丛的特殊情形。

例5: 对于一个Template:Link-en，M，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子局部定义如下：对于x∈M和M在x处的切空间的局部标准正交基e₁(x), ..., e_j(x)，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子是

$\sum _{j=1}^n{e}_j(x){\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{e_j(x)}$,

其中$\tilde{\mathrm{\Gamma }}$是从M上的列维-奇维塔联络到M上的旋量丛的提升。

推广

在克利福德分析中，算子D: C^∞(R^k ⊗ Rⁿ,S)→C^∞(R^k ⊗Rⁿ,C^k ⊗S)作用在如下定义的旋量值函数

$f(x_1,\dots ,x_k)\mapsto \left(\begin{array}{c}{\partial }_{\underset{\_}{x_1}}f\\ {\partial }_{\underset{\_}{x_2}}f\\ \dots \\ {\partial }_{\underset{\_}{x_k}}f\end{array}\right)$

有时被称为k克利福德变量的狄拉克算子。上面符号中，是旋量空间，S是旋量空间，$x_i=(x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{in})$ 是n维变量，${\partial }_{\underset{\_}{x_i}}=\sum _j{e}_j\cdot {\partial }_{x_{ij}}$是狄拉克算子在第i个变量的分量。这是狄拉克算子（k=1）和Template:Link-en（n=2，k 任意）的一般推广。这是一个Template:Link-en，在群SL(k)×Spin(n)的作用下不变。D的Template:Link-en只在一些特殊情形是已知的。

另请参阅

• 狄拉克方程
• 克利福德代数
• Template:Link-en
• 联络
• Template:Link-en
• 热核
• 旋量丛

参考资料

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