牛顿定理

点p位于牛顿线EF上。

在欧几里得几何中，牛顿定理指出除了菱形在任何圆外切四边形中内切圆的圆心在在牛顿线上。

假设四边形ABCD是圆外切四边形，且最多有一对平行的边，然后假设点E和点F是对角线AC、DB的中点，点P是内切圆的中心，这样的话P点就位于牛顿线上，即线段EF的中点。如果圆外切四边形是菱形，在这种情况下对角线的中点和内切圆的圆心重合，不存在牛顿线。

牛顿定理可以简单地从安妮定理出发：圆外切四边形对边的长度之和相等（皮托定理：a + c = b + d），根据安妮定理表明： $S\mathrm{△}ABP+S\mathrm{△}CDP=S\mathrm{△}ADP+S\mathrm{△}BCP$，足以证明点P在线段EF上。

$\begin{array}{cc}& A(\mathrm{△}PAB)+A(\mathrm{△}PCD)\\ =& \frac{1}{2}ra+\frac{1}{2}rc=\frac{1}{2}r(a+c)\\ =& \frac{1}{2}r(b+d)=\frac{1}{2}rb+\frac{1}{2}rd\\ =& A(\mathrm{△}PBC)+A(\mathrm{△}PAD)\end{array}$

参考资料

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, Template:Isbn, pp. 117–118 (Template:Google books)

外部链接

• Newton’s and Léon Anne’s Theorems Template:Wayback at cut-the-knot.org