浸没 (数学)

数学中，浸没（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。

定义

令M、N是微分流形，$f:M\to N$是它们间的可微映射。映射f是点$p\in M$处的浸没，若其微分

$D{f}_p:T_{p}M\to T_{f(p)}N$

是线性满射。这种情况下，p被称作映射f的正则点（regular point）；否则，p就是临界点。若原像$f^{-1}(q)$中所有的点p都是正则点，则点$q\in N$是f的正则值。在每点$p\in M$上都是浸没的可微映射f也称作浸没，等价地，若f的微分$D{f}_p$的秩等于N的维度，则f是浸没。

需要注意：有人用“临界点”描述f的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若M的维度小于N的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于M的维度）。上述定义更常用，如在萨德定理的表述中。

浸没定理

给定m维、n维光滑流形之间的浸没$f:M\to N$，$\mathrm{\forall }x\in M$，有围绕x的M的满射图（chart）$\varphi :U\to {ℝ}^m$、围绕$f(x)$的N的$\psi :V\to {ℝ}^n$，使得f限制到浸没$f:U\to V$，用坐标表示为$\psi \circ f\circ {\varphi }^{-1}:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$，就变为普通的正交投影。应用中，$\mathrm{\forall }p\in N$，f对应的纤维表示为$M_p=f^{-1}(\{p\})$，可配备M的光滑子流形结构，其维度等于N与M维度之差。

该定理是反函数定理的结果（见反函数定理#流形）。

例如，考虑$f:{ℝ}^3\to ℝ$由$f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4$给出。雅各比矩阵是

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}& \frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4x^3& 4y^3& 4z^3\end{array}\right].$

除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维

$f^{-1}(\{t\})=\{(a,b,c)\in {ℝ}^3:a^4+b^4+c^4=t\}$

在$t<0$时是空集，$t=0$时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没$f:{ℝ}^3\setminus \{(0,0,0)\}\to {ℝ}_{>0},$与子集$M_t=\{(a,b,c)\in {ℝ}^3:a^4+b^4+c^4=t\}$是$t>0$时的2维光滑流形。

示例

• 任何投影$\pi :{ℝ}^{m+n}\to {ℝ}^n\subset {ℝ}^{m+n}$
• 局部微分同胚
• 黎曼浸没
• 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。

球面之间的映射

浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没，例如

$f:S^{n+k}\to S^k$

其纤维维度为n，这是因为纤维（元素$p\in S^k$的反像）是n维光滑流形。那么，若取路径

$\gamma :I\to S^k$

并取拉回

$\begin{array}{ccc}{M}_I& \to & S^{n+k}\\ \downarrow & & \downarrow f\\ I& \stackrel{\gamma }{\to }& S^k\end{array}$

就得到了一种特殊的协边的例子，称作有框架协边。实际上，有框协边群${\mathrm{\Omega }}_n^{fr}$与稳定同伦群密切相关。

代数簇族

另一大类浸没由代数簇

$\pi :𝔛\to S$

给出，其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形，则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族

$\pi :𝒲\to {𝔸}^1$

是被广泛研究的浸没，因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术，如交同调与错致层。这一族来自

$𝒲=\{(t,x,y)\in {𝔸}^1\times {𝔸}^2:y^2=x(x-1)(x-t)\}$

其中

${𝔸}^1$

是仿射线，

${𝔸}^2$

是仿射平面。由于考虑的是复簇，它们等价于复线与复平面

$ℂ,{ℂ}^2$

。注意我们实际上应该去掉

$t=0,1$

，因为那里有奇点（有双根）。

局部正规形式

若$f:M\to N$是p处的浸没，$f(p)=q\in N$，则在M中存在p的开邻域U、在N中存在q的开邻域V，在p处有局部坐标$(x_1,\dots ,x_m)$，在q处有局部坐标$(x_1,\dots ,x_n)$，使得$f(U)=V$，且在这些局部坐标中的映射f是标准投影

$f(x_1,\dots ,x_n,x_{n+1},\dots ,x_m)=(x_1,\dots ,x_n).$

可知，在可微映射$f:M\to N$的作用下，N中的正则值q在M中的全原像$f^{-1}(q)$要么是空的，要么是$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N$维微分流形，但可能不连通。这是正则值定理的内容（也叫浸没定理）。尤其是，若f是浸没，则$\mathrm{\forall }q\in N$，结论都成立。

拓扑流形的浸没

一般拓扑流形的浸没也是良定义的。拓扑流形浸没是连续满射$f:M\to N$，使得$\mathrm{\forall }p\in M$，对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ，映射${\psi }^{-1}\circ f\circ \phi$等于射影映射${ℝ}^m\to {ℝ}^n$（$m=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)\ge n=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(N)$）。

另见

• 埃雷斯曼纤维化定理

参考文献

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