浸入

克萊因瓶浸入到3-空間中。

數學上，浸入是微分流形之間的可微映射，其導數處處是單射。確切而言，f : M → N是浸入，若在M中每一點p，

$D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N$

都是单射。（T_pX表示X在點p處的切空間。另一個等價說法是f是浸入，若f的秩是常數，且等於M的維數：

$\mathrm{rank}{D}_{p}f=\dim M.$

以上只要求f的導數為單射，但映射f未必是單射。

一個與浸入相關的概念是嵌入。光滑嵌入是一個單射浸入f : M → N而同時為拓撲嵌入，使得M與其在N中的像微分同胚。浸入正是局部嵌入，即對M中每一點x都有一個x的鄰域U ⊂ M，使得f : U → N是嵌入。相反地，局部嵌入都是浸入。

一個單射浸入子流形而不是嵌入。

若M是緊緻的，則單射浸入是一個嵌入；若M不是緊緻，則未必成立。這兩者的關係就如同連續雙射之於同胚。

參考

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• Hirsch M. Immersions of manifolds. Trans. A.M.S. 93 1959 242—276.
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• Smale, S. A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281–290.
• Smale, S. The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math. (2) 69 1959 327—344.
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• Wall, C. T. C.: Surgery on compact manifolds. 2nd ed., Mathematical Surveys and Monographs 69, A.M.S.

外部連結

• Immersion Template:Wayback at the Manifold Atlas
• Immersion of a manifold Template:Wayback at the Encyclopedia of Mathematics