擴展實數線

Template:Unreferenced Template:NoteTA 擴展實數線又稱廣義實數（Template:Lang-en），由實數線$ℝ$加上$+\mathrm{\infty }$和$-\mathrm{\infty }$得到（注意$+\mathrm{\infty }$和$-\mathrm{\infty }$并不是实数），写作$\overline{ℝ}$、Template:Math或Template:Math。在不會混淆時，符號 Template:Math常簡寫成Template:Math。扩展的實數線在研究数学分析，特别是积分时非常有用。

扩展

对任意实数$a$，定义$-\mathrm{\infty }<a<+\mathrm{\infty }$，扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在$\overline{ℝ}$上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合$U$是$+\mathrm{\infty }$的邻域，当且仅当它包含集合$\{x:x>a\}$，这里$a$是某个实数。$-\mathrm{\infty }$的邻域类似。$\overline{ℝ}$是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间$[0,1]$同胚。

$ℝ$上的算术运算可以部分地扩展到$\overline{ℝ}$，如下：

$\begin{array}{cc}a+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }+a=+\mathrm{\infty }& a\ne -\mathrm{\infty }\\ a-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }+a=-\mathrm{\infty }& a\ne +\mathrm{\infty }\\ a\cdot (\pm \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }\cdot a=\pm \mathrm{\infty }& a\in (0,+\mathrm{\infty }]\\ a\cdot (\pm \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }\cdot a=\mp \mathrm{\infty }& a\in [-\mathrm{\infty },0)\\ \frac{a}{\pm \mathrm{\infty }}=0& a\in ℝ\\ \frac{\pm \mathrm{\infty }}{a}=\pm \mathrm{\infty }& a\in (0,+\mathrm{\infty })\\ \frac{\pm \mathrm{\infty }}{a}=\mp \mathrm{\infty }& a\in (-\mathrm{\infty },0)\end{array}$

通常不定义$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0\cdot (\pm \mathrm{\infty }),\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$,$\frac{a}{0}$。同时$\frac{1}{0}$也不定义为$+\mathrm{\infty }$（因為這樣忽視了$-\mathrm{\infty }$），这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意在这些定义下，$\overline{ℝ}$不是域，也不是环。

性质

经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：

• $a+(b+c)$和$(a+b)+c$相等或同时没有定义。
• $a+b$和$b+a$相等或同时没有定义。
• $a\cdot (b\cdot c)$和$(a\cdot b)\cdot c$相等或同时没有定义。
• $a\cdot b$和$b\cdot a$相等或同时没有定义。
• $a\cdot (b+c)$和$(a\cdot b)+(a\cdot c)$若都有定义则相等。
• 若$a\le b$且$a+c$和$b+c$都有定义，则$a+c\le b+c$。
• 若$a\le b$且$c>0$且$a\cdot c$和$b\cdot c$都有定义，则$a\cdot c\le b\cdot c$。

通常只要表达式都有定义，所有算术性质在$\overline{ℝ}$上都成立。

使用极限，一些函数可以自然地扩展到$\overline{ℝ}$。例如可以定义${\mathrm{e}}^{\mathrm{-}\mathrm{\infty }}\mathrm{=}\mathrm{0},{\mathrm{e}}^{\mathrm{+}\mathrm{\infty }}\mathrm{=}\mathrm{+}\mathrm{\infty },\ln \mathrm{0}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{\infty },\ln (+\mathrm{\infty })\mathrm{=}\mathrm{+}\mathrm{\infty }$等。

参见

• 扩展的复平面