泊里雅科夫作用量

在物理学中， 泊里雅科夫作用（Polyakov action）是二维共形场论的作用量，它描述了弦理论中的世界面。斯坦利·德赛尔和布鲁诺·朱米诺发现了这个作用量，但是这个作用量以亚历山大·泊里雅科夫的名字命名，因为他将这个作用量应用于弦理论（Quantum geometry of the bosonic string, Physics Letters B, 103, 1981, p. 207；玻色弦的量子几何）。泊作用量是

$𝒮=\frac{T}{2}\int {\mathrm{d}}^2\sigma \sqrt{-h}{h}^{ab}{g}_{\mu \nu }(X){\partial }_a{X}^{\mu }(\sigma ){\partial }_b{X}^{\nu }(\sigma )$

$T$ 是弦的张力，$g_{\mu \nu }$ 是目标流形的度量张量，$h_{ab}$ 是世界面的距离函数，$h^{ab}$ 是反函数，以及 $h=\det (h_{\alpha \beta })$ 。S也是一个非线性σ模型。

对称性

通过下面的变换，S是不变量：

• 庞加莱群（全球）
• 世界面微分同胚（局部）
• Weyl变换（局部）
• 共形变换（共形场论）

与南部-后藤作用量的关系

压力-能量张量是

$\frac{\delta S}{\delta h^{ab}}=T_{ab}=0$

度量张量 $h^{ab}$的欧拉–拉格朗日方程是

$T^{ab}=\frac{-2}{\sqrt{-h}}\frac{\delta S}{\delta h_{ab}}$

而且

$\delta \sqrt{-h}=-\frac{1}{2}\sqrt{-h}{h}_{ab}\delta h^{ab}$

所以

$\frac{\delta S}{\delta h^{ab}}=\frac{T}{2}\sqrt{-h}(G_{ab}-\frac{1}{2}{h}_{ab}{h}^{cd}{G}_{cd})$

其中 $G_{ab}=g_{\mu \nu }{\partial }_a{X}^{\mu }{\partial }_b{X}^{\nu }$ 。则

$T_{ab}=T(G_{ab}-\frac{1}{2}{h}_{ab}{h}^{cd}{G}_{cd})=0$

$G_{ab}=\frac{1}{2}{h}_{ab}{h}^{cd}{G}_{cd}$

$G=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(G_{ab}\right)=\frac{1}{4}h{\left(h^{cd}{G}_{cd}\right)}^2$

若使用

$\sqrt{-h}=\frac{2\sqrt{-G}}{h^{cd}{G}_{cd}}$

则S成为南后作用量：

$S=\frac{T}{2}\int {\mathrm{d}}^2\sigma \sqrt{-h}{h}^{ab}{G}_{ab}=\frac{T}{2}\int {\mathrm{d}}^2\sigma \frac{2\sqrt{-G}}{h^{cd}{G}_{cd}}{h}^{ab}{G}_{ab}=T\int {\mathrm{d}}^2\sigma \sqrt{-G}$

因为S是线性的，P作用的量子化过程比较容易。

参见

• D膜
• 爱因斯坦–希尔伯特作用量

参考文献

• Polchinski (Nov, 1994). What is String Theory, NSF-ITP-94-97, 153pp, arXiv:hep-th/9411028v1
• Ooguri, Yin (Feb, 1997). TASI Lectures on Perturbative String Theories, UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80pp, arXiv:hep-th/9612254v3