沃德-高橋恆等式

在量子場論中，沃德-高橋恆等式是一個藉由理論的全域或規範對稱性來聯繫不同Template:Le的恆等式，其不受重整化影響。

沃德-高橋恆等式一開始是由Template:Le和Template:Le提出，在量子電動力學中用以連結電子的Template:Le和Template:Le，這保證了在微擾理論的任意階下兩者產生的Template:Le皆會對消。之後也被延伸用於證明在微擾理論中任意階下的戈德斯通定理。

廣義來說，沃德-高橋恆等式是量子化版本的諾特定理，將守恆流與連續性對稱作聯繫。在量子場論中這樣的對稱性幾乎都會產生廣義的沃德-高橋恆等式，其在量子層級下要求物理量的對稱性。在閱讀如Template:Le和丹尼爾·施羅德撰寫的課本時，此廣義版本應與原始的沃德-高橋恆等式作區分。

以下的討論將使用量子電動力學作例子考慮一阿貝爾理論中的沃德-高橋恆等式。在非阿貝爾理論中，如量子色動力學，對應的恆等式被稱作Template:Le。

沃德-高橋恆等式

沃德-高橋恆等式應用於動量空間中的關聯方程，其中並無要求全部的外部動量要在殼。令

$ℳ(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)={ϵ}_{\mu }(k){ℳ}^{\mu }(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)$

為一量子電動力學中的關聯方程（使用愛因斯坦求和約定）。其中包含一帶有動量 $k$、Template:Le ${ϵ}_{\mu }(k)$ 的外部光子、 $n$ 個動量為 $p_1\cdots p_n$ 的初始態電子、和 $n$ 個動量為 $q_1\cdots q_n$ 的末態電子。另外定義 ${ℳ}_0$ 為移除該光子後的關聯方程，則沃德-高橋恆等式給出

$k_{\mu }{ℳ}^{\mu }(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)=e\sum _i[{ℳ}_0(p_1\cdots p_n;q_1\cdots (q_i-k)\cdots q_n)$

$-{ℳ}_0(p_1\cdots (p_i+k)\cdots p_n;q_1\cdots q_n)]$

其中 $e$ 代表基本電荷（帶負號）。可發現當 $ℳ$ 中每個外部電子皆在殼時，恆等式的右手邊中各項皆會有一外部電子離殼，因此不會對散射矩陣產生貢獻。

沃德恆等式

沃德恆等式是沃德-高橋恆等式在討論散射矩陣時的特殊形式。其描述物理上可能的散射過程，因此所有外部粒子皆在殼。再次令 $ℳ(k)={ϵ}_{\mu }(k){ℳ}^{\mu }(k)$ 為某個量子電動力學過程的機率幅，其中含有一帶動量 $k$、極化向量 ${ϵ}_{\mu }(k)$ 的外部光子。則沃德恆等式給出

$k_{\mu }{ℳ}^{\mu }(k)=0$

物理上，此恆等式代表 Template:Le中縱向的極化向量是不符合物理的，不應存在於散射矩陣中。

此恆等式可應用在限制量子電動力學中真空極化和電子Template:Le的張量結構。

推導

在路徑積分表述中，沃德-高橋恆等式源自測度泛函規範變換下的不變性。精確來說，若考慮某規範變換 $\epsilon$ 產生的影響 ${\delta }_{\epsilon }$ （此處僅要求測度泛函在轉換下維持不變）, 則

${\delta }_{\epsilon }\int \left(ℱe^{iS}\right)𝒟\varphi =\int {\delta }_{\epsilon }\left(ℱe^{iS}\right)𝒟\varphi =0$

其中 $S$ 是作用量、$ℱ$ 是由場 $\varphi$ 組成的泛函。若該規範變換對應到一全域對稱性，則在忽略邊界項後會有一守恆流 $J$

${\delta }_{\epsilon }S=\int \left({\partial }_{\mu }\epsilon \right)J^{\mu }{\mathrm{d}}^{d}x=-\int \epsilon {\partial }_{\mu }{J}^{\mu }{\mathrm{d}}^{d}x$

因此，沃德-高橋恆等式變為

$⟨{\delta }_{\epsilon }ℱ⟩-i\int \epsilon ⟨ℱ{\partial }_{\mu }{J}^{\mu }⟩{\mathrm{d}}^{d}x=0$

此為諾特定理 ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$ 在量子場論下的版本。