林德曼-魏尔斯特拉斯定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Template:Lang）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果$a_1,\dots ,a_n$ 是代数数，在有理数 Template:UnicodeMath 内是线性独立的，那么$e^{{\alpha }_1},\dots ,e^{{\alpha }_n}$在 Template:UnicodeMath 内是代数独立的；也就是说，扩张域$\mathbb{Q}(e^{{\alpha }_1},\dots ,e^{{\alpha }_n})$在 Template:UnicodeMath 内具有超越次数 Template:VarSerif。

一个等价的表述是：如果$a_1,\dots ,a_n$是不同的代数数，那么指数$e^{{\alpha }_1},\dots ,e^{{\alpha }_n}$在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数$\alpha$，$e^{\alpha }$都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。

e和π的超越性

e和π的超越性是这个定理的直接推论。

假设$\alpha$是一个非零的代数数，那么$\left\{\alpha \right\}$在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，$\left\{e^{\alpha }\right\}$是一个代数独立的集合，也就是说，$e^{\alpha }$是超越数。特别地，$e^1=e$是超越数^。

另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果$\alpha$是一个非零的代数数，那么$\{0,\alpha \}$就是不同的代数数的集合，因此集合$\{e^0,e^{\alpha }\}=\{1,e^{\alpha }\}$在代数数范围内是线性独立的，特别地，$e^{\alpha }$不能是代数数，因此一定是超越数。

现在，我们来证明$\pi$是超越数。如果π是代数数，$2\pi i$也是代数数（因为$2i$是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理， $e^{2\pi i}$（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果$\alpha$是一个非零的代数数，那么$\sin (\alpha )$、$\cos (\alpha )$、$\tan (\alpha )$和它们的双曲函数也是超越数。

$p$进数猜想

$p$进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设$p$是素数，$e^{{\alpha }_1},\dots ,e^{{\alpha }_n}$是$p$进数，它们都是代数数，且在Template:UnicodeMath内线性独立，使得对于所有的$i$，都有$|{\alpha }_i{|}_p<1/p$。那么p进指数$e^{{\alpha }_1},\dots ,e^{{\alpha }_n}$在Template:UnicodeMath内是代数独立的。

参见

• 证明e是无理数
• 证明π是无理数

参考文献

• Template:Citation

外部链接

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理的证明（HTML）