克鲁尔维数

在交換代數中，一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

定義

設交換環 $R$ 中有 $n+1$ 個素理想 $P_0,\dots ,P_n$，使得

$P_0⊊P_1⊊\dots ⊊P_n$

則稱之為長度為 $n$ 的素理想鏈，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。$R$ 的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度，這也等於是 $R$ 中素理想的最大可能高度。

根據定義， $R$ 的維數與對素理想的局部化有下述關係

$\dim R=\sup \{\dim R_{𝔭}:𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R\}$

其中 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R$ 表 $R$ 的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想的 $𝔭$。當 $R$ 為鏈環時，對各極大理想的局部化皆有相同維數；代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

例子與性質

例如在環 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z]$ 中可考慮以下的素理想鏈

$(2)⊊(2,x)⊊(2,x,y)⊊(2,x,y,z)$

因此 $\dim (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z]\ge 3$；事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質：

• 零維的整環是域。
• 離散賦值環與戴德金整環是一維的。
• 若 $\dim R=k$，則 $k+1\le \dim R[X]\le 2k+1$；當 $R$ 為諾特環時則 $\dim R[X]=k+1$。
• 若 $k$ 為域，則 $\dim k[X_1,\dots ,X_n]=n$。
• 若 $B$ 為 $A$-代數，同時又是有限生成的 $A$-模，則 $\dim B=\dim A$。

與幾何的關係

在代數幾何中，一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界；對於仿射概形 $X=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$，則回歸到 $\dim X=\dim A$。

設 $k$ 為域，$R$ 是有限型 $k$-整代數，這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理，存在非負整數 $d$ 及 $R$ 中彼此代數獨立的元素 $x_1,\dots ,x_d$ ，使得 $R$ 是有限生成之 $k[x_1,\dots ,x_d]$-模，因此 $\dim R=d$。從幾何觀點看，$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R$ 此時是 ${𝔸}_k^d$ 的有限分歧覆蓋，因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀：

1. $\dim {𝔸}_k^d=d$
2. 若 $X\to Y$ 是分歧覆蓋，則 $\dim X=\dim Y$。

特別是當 $k=ℂ$ 時，代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。

文獻

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9