梯形公式

線性函數（紅色）會作用估算函數$f(x)$ （藍色）。

梯形公式是數學中数值积分的基础公式之一：$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}.$

公式由来

由积分中值定理可得

$\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)f(\xi )$，

但由于ξ其值一般难于确定，故难以准确算出$f(\xi )$的值。

如果用两端点$f(a)$与$f(b)$的算术平均值估算$f(\xi )$，有

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$，

这就是梯形公式。

类似地，如果用区间中点$c=\frac{a+b}{2}$其高度$f(c)$取代$f(\xi )$，从而有中矩形公式

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)f(\frac{a+b}{2})$。

复合求积公式

每一區間相同

梯形公式的示意圖（長度相同的區間）。

為了計算出更加準確的定積分，可以把積分的區間$[a,b]$分成$N$份，當中$N$趨向無限，分割出的每一個區間長度必定要是一樣的，然後就可以應用梯形公式：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{N}[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{N-1}f(a+k\frac{b-a}{N})].$

亦可以寫成：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2N}(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_N))$

當中

$x_k=a+k\frac{b-a}{N},\text{ for }k=0,1,\dots ,N$

其余项为

$R_n(f)=-\frac{b-a}{12}{h}^2{f}^{″}(\eta ),\eta \in (a,b)$

當區間的長度並不相同時，這一條公式便不能使用。

每一區間並不相同

梯形公式的示意圖（長度不相同的區間）

給予$x_1,\dots ,x_N$以及$y_1,\dots ,y_N$，定積分就可以估算成

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{1}{2}\sum _{i=2}^N(x_i-x_{i-1})(y_i+y_{i-1})$,

當中

$y_i=f(x_i)$.

誤差分析

應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異：

$\text{error}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\frac{b-a}{N}[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{N-1}f(a+k\frac{b-a}{N})]$

如果 $(a,b)$中存在一個實數$\xi$，那麼

$\text{error}=-\frac{(b-a{)}^3}{12N^2}{f}^{″}(\xi )$

对于中矩形公式，其误差类似的有：

$\text{error}=-\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{″}(\xi )$

如果被積函數是一個凸函數（亦即有一個正值二階導數），那麼誤差會是一個負數，也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達：梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地，如果被積函數是一個凹函數，梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有拐點。它的錯誤是比較難去估計。

一般而言有數種方法可以去分析誤差，例如是：傅利葉級數。

在$N\to \mathrm{\infty }$的情況下，趨向性的估計誤差是：

$\text{error}=-\frac{(b-a{)}^2}{12N^2}[f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)]+O(N^{-3}).$

参考文献

• 《数值分析》，清华大学出版社，李庆扬等编，书号ISBN 978-7-302-18565-9