格羅莫夫雙曲空間

數學上，設$\delta \ge 0$為一常數，則一個度量空間$X$是格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，簡稱δ-雙曲空間，如果$X$中任意四點$p,x,y,z$都符合不等式

$(x,z{)}_p\ge \min \{(x,y{)}_p,(y,z{)}_p\}-\delta$

其中$(x,y{)}_p$是$x,y$對基點$p$的格羅莫夫積。若δ的實際數值不重要時，也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義，因為不須用到測地線，故可以用於一般的度量空間。

一個測地度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數$\delta \ge 0$，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形每一邊上任何一點，距離另外兩邊其中一邊少於δ。

以上的δ-瘦條件由以利亞·里普斯(Eliyahu Rips)給出，此外又有數種等價條件。格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ，但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性，則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。

例子

• 樹是0-雙曲空間，因為其上任何三角形都是退化的。
• 有限直徑的度量空間都是雙曲空間。
• 設$X,Y$為測地度量空間，$f:X\to Y$是一個擬等距映射，如果$Y$是雙曲空間，那麼$X$也是雙曲空間。
• 若$X$是負曲率的緊緻黎曼流形，那麼其萬有覆疊空間$\tilde{X}$是雙曲空間，而$X$的基本群${\pi }_1(X)$賦予字度量後可以擬等距映射到$\tilde{X}$（施瓦茨－米爾諾引理），所以也是雙曲空間。${\pi }_1(X)$因此是雙曲群。

理想邊界

設X是一個格羅莫夫雙曲空間，$(x_i)$為X中一個序列。如果

當$i,j\to \mathrm{\infty }$時，$(x_i,x_j{)}_p\to \mathrm{\infty }$，

稱$(x_i)$收斂於無窮。其中p是X中某個定點，$(x_i,x_j{)}_p$是$x_i,x_j$對基點p的格羅莫夫積。

對收斂於無窮的序列$(x_i)$定義一個等價關係如下：$(x_i)\sim (y_i)$，如果

當$i,j\to \mathrm{\infty }$時，$(x_i,y_j{)}_p\to \mathrm{\infty }$。

由這些等價類構成的集合稱為X的理想邊界$\partial X$。

注意上述條件都不依賴於基點p，因為格羅莫夫積對p是1-利普希茨連續的，即是若將p換作另一點q，則任兩點的格羅莫夫積以q為基點時的值，與以p為基點時的值，相差不超過p和q的距離。

若序列$(x_i)$在等價類$a\in \partial X$內，那麼稱$x_i\to a$。這樣就在$X\cup \partial X$上定義了一個拓撲，使得X在$X\cup \partial X$內是稠密的。

等價定義

設格羅莫夫雙曲空間X是測地和常態的，其理想邊界有等價定義如下：

1. 一個映射$f:[0,\mathrm{\infty })\to X$稱為擬射線，如果f是一個擬等距嵌入。對X中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價，若二者的豪斯多夫距離是有限的。那麼由擬射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。
2. 選取X中任何一點w為基點。對所有從w點出發的測地射線，定義如上一項所述的等價關係。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。

參見

• 雙曲群