字度量

群論中，字度量是在群上的一種度量，就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群$G$的生成集$S$，每個元素都可以用$S$寫成很多個不同的字。例如設$G$是所有整數組成的群$(\mathbb{Z},+)$，取$S=\{\pm 1\}$，3就可以寫成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個$S$的元素，這就是字的長度，例如1+1+1的長度是3，-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻：英文字的生成集是英文字母，字的長度就是字母的數目，如colour的長度是6，color的長度是5。

兩個元素$g,h\in G$的字度量$d_S(g,h)$定義為$g^{-1}h$以$S$表示成的最短的字的長度。

兩個元素的字度量，等於凱萊圖$\mathrm{\Gamma }(G,S)$中這兩個元素的距離。

例子

考慮整數群$(\mathbb{Z},+)$。若取生成集合$S=\{\pm 1\}$，那麼兩個整數$m,n$之間的字度量是$d_S(m,n)=|-m+n|$。

若取另一個生成集合$S^{\prime }=\{\pm 2,\pm 3\}$，則$m$和$m+1$之間的字度量$d_{S^{\prime }}(m,m+1)=2$，因為$-m+(m+1)$用$S^{\prime }$所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的長度為2。

性質

從字度量的定義可以看出，群於自身的左乘作用$k\cdot g\mapsto kg$下，字度量不變：

$d_S(g,h)=d_S(kg,kh)$

（因為$(kg{)}^{-1}(kh)=g^{-1}h$。）

一個群$G$給出不同的生成集合，對應的字度量可以不同。不過，如果$G$是有限生成的，則兩個有限的生成集合$S_1,S_2$所給出的字度量是雙利普希茨的，即存在常數$C>1$使得對任何$g,h\in G$都有

$\frac{1}{C}{d}_{S_1}(g,h)\le d_{S_2}(g,h)\le C{d}_{S_1}(g,h)$

證明如下：$S_1$中的各元素用$S_2$表示成的字，其中最長的長度設為$C_1$。那麼每個用$S_1$表示成的字，都可用$S_2$改寫成不超過$C_1$倍的長度的字。故此

$d_{S_2}(g,h)\le C_1{d}_{S_1}(g,h)$

同樣地，有

$d_{S_1}(g,h)\le C_2{d}_{S_2}(g,h)$

取$C$為$C_1$和$C_2$的較大者，得出不等式。