有限差分法

Template:NoteTA 在数学中，有限差分法（finite-difference methods，簡稱FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分來近似导數，从而寻求微分方程的近似解。

由泰勒展開式的推導

首先假設要近似函數的各級導數都有良好的性質，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式：

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + \frac{f^{'} (x_{0})}{1!} h + \frac{f^{(2)} (x_{0})}{2!} h^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} h^{n} + R_{n} (x),

其中n!表示是n的階乘，R_n(x)為餘數，表示泰勒多項式和原函數之間的差。可以推導函數f一階導數的近似值：

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + R_{1} (x),

設定x₀=a，可得：

f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + R_{1} (x),

除以h可得：

\frac{f (a + h)}{h} = \frac{f (a)}{h} + f^{'} (a) + \frac{R_{1} (x)}{h}

求解f'(a)：

f^{'} (a) = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} - \frac{R_{1} (x)}{h}

假設 $R_{1} (x)$ 相當小，因此可以將"f"的一階導數近似為：

f^{'} (a) \approx \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

準確度及誤差

近似解的誤差定義為近似解及解析解之間的差值。有限差分法的兩個誤差來源分別是捨入誤差及截尾誤差（或稱為離散化誤差），前者是因為電腦計算小數時四捨五入造成的誤差，後者則是用有限阶级数表示导数引起的误差。

在運用有限差分法求解一問題（或是說找到問題的近似解）時，第一步需要將問題的定義域離散化。一般會將問題的定義域用均勻的網格分割（可參考右圖）。因此有限差分法會制造一組導數的離散數值近似值。

一般會關注近似解的Template:Link-en，會用大O符號表示，局部截尾誤差是指應用有限差分法一次後產生的誤差，因此為 $f^{'} (x_{i}) - f'_{i}$ ，此時 $f^{'} (x_{i})$ 是實際值，而 $f'_{i}$ 為近似值。泰勒多項式的餘數項有助於分析局部截尾誤差。利用 $f (x_{0} + h)$ 泰勒多項式的餘數項，也就是

R_{n} (x_{0} + h) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (h)^{n + 1}

, 其中

x_{0} < ξ < x_{0} + h

,

可以找到局部截尾誤差的主控項，例如用前項差分法計算一階導數，已知 $f (x_{i}) = f (x_{0} + i h)$ ,

f (x_{0} + i h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) i h + \frac{f^{″} (ξ)}{2!} (i h)^{2},

利用一些代數的處理，可得

\frac{f (x_{0} + i h) - f (x_{0})}{i h} = f^{'} (x_{0}) + \frac{f^{″} (ξ)}{2!} i h,

注意到左邊的量是有限差分法的近似，右邊的量是待求解的量再加上一個餘數，因此餘數就是局部截尾誤差。上述範例可以用下式表示：

\frac{f (x_{0} + i h) - f (x_{0})}{i h} = f^{'} (x_{0}) + O (h) .

在此例中，局部截尾誤差和時間格點的大小成正比。

範例：常微分方程

例如考慮以下的常微分方程

u^{'} (x) = 3 u (x) + 2 .

利用數值方法中歐拉法求解，利用以下的有限差分式

\frac{u (x + h) - u (x)}{h} \approx u^{'} (x)

來近似導數，並配合一些代數處理（等號兩側同乘以h，再加上u(x)），可得

u (x + h) = u (x) + h (3 u (x) + 2) .

最後的方程式即為有限差分方程，求解此方程則可得到原方程的近似解。

範例：熱傳導方程

考慮正規化的一維熱傳導方程式，為齊次的狄利克雷邊界條件

U_{t} = U_{x x}

U (0, t) = U (1, t) = 0

（邊界條件）

U (x, 0) = U_{0} (x)

（初始條件）

對此問題求數值解的一種方式是用差分去近似所有的導數，可以將空間分割為 $x_{0}, . . ., x_{J}$ ，將時間也分割為 $t_{0}, . . . ., t_{N}$ 。假設在時間及空間都是均勻的網格切割，空間中兩個連續位置的間隔為h，兩個連續時間之間的間隔為k。點

u (x_{j}, t_{n}) = u_{j}^{n}

表示 $u (x_{j}, t_{n})$ 的數值近似解。

顯式方法

利用在時間 $t_{n}$ 的前向差分，以及在位置 $x_{j}$ 的二階中央差分（Template:Link-en），可以得到以下的迭代方程：

\frac{u_{j}^{n + 1} - u_{j}^{n}}{k} = \frac{u_{j + 1}^{n} - 2 u_{j}^{n} + u_{j - 1}^{n}}{h^{2}} .

這是用求解一維導熱傳導方程的顯式方法。

可以用以下的式子求解 $u_{j}^{n + 1}$

u_{j}^{n + 1} = (1 - 2 r) u_{j}^{n} + r u_{j - 1}^{n} + r u_{j + 1}^{n}

其中 $r = k / h^{2} .$

因此配合此迭代關係式，已知在時間n的數值，可以求得在時間n+1的數值。 $u_{0}^{n}$ 及 $u_{J}^{n}$ 的數值可以用邊界條件代入，在此例中為0。

此顯式方法在 $r \leq 1 / 2$ 時，為數值稳定且收斂^[1]。其數值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

Δ u = O (k) + O (h^{2})

隱式方法

若使用時間 $t_{n + 1}$ 的後向差分，及位置 $x_{j}$ 的二階中央差分（BTCS 格式），可以得到以下的迭代方程：

\frac{u_{j}^{n + 1} - u_{j}^{n}}{k} = \frac{u_{j + 1}^{n + 1} - 2 u_{j}^{n + 1} + u_{j - 1}^{n + 1}}{h^{2}} .

這是用求解一維導熱傳導方程的隱式方法。

在求解線性聯立方程後可以得到 $u_{j}^{n + 1}$ ：

(1 + 2 r) u_{j}^{n + 1} - r u_{j - 1}^{n + 1} - r u_{j + 1}^{n + 1} = u_{j}^{n}

此方法不論 $r$ 的大小，都數值稳定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進一個時間間隔，就需要求解一個聯立的數值方程組。其數值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

Δ u = O (k) + O (h^{2})

克兰克－尼科尔森方法

若使用時間 $t_{n + 1 / 2}$ 的中間差分，及位置 $x_{j}$ 的二階中央差分（CTCS 格式），可以得到以下的迭代方程：

\frac{u_{j}^{n + 1} - u_{j}^{n}}{k} = \frac{1}{2} (\frac{u_{j + 1}^{n + 1} - 2 u_{j}^{n + 1} + u_{j - 1}^{n + 1}}{h^{2}} + \frac{u_{j + 1}^{n} - 2 u_{j}^{n} + u_{j - 1}^{n}}{h^{2}}) .

此公式為克兰克－尼科尔森方法（Crank–Nicolson method）。

在求解線性聯立方程後可以得到 $u_{j}^{n + 1}$ ：

(2 + 2 r) u_{j}^{n + 1} - r u_{j - 1}^{n + 1} - r u_{j + 1}^{n + 1} = (2 - 2 r) u_{j}^{n} + r u_{j - 1}^{n} + r u_{j + 1}^{n}

此方法不論 $r$ 的大小，都數值稳定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進一個時間間隔，就需要求解一個聯立的數值方程組。其數值誤差和時間間隔的平方成正比，和位置間隔的平方成正比：

Δ u = O (k^{2}) + O (h^{2}) .

若時間刻度較小時，克兰克－尼科尔森方法是最精確的，而顯式方法是最不精確的，而且可能會不穩定，但是是最容易計算的，其數值計算量也最少。若時間刻度較大時，隱式方法的效果最好。

參考資料

Template:Reflist

K.W. Morton and D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction. Cambridge University Press, 2005.
Oliver Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction, (2006) Albert Ludwigs University of Freiburg
Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008) [1] Template:Wayback

外部連結

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↑ Crank, J. The Mathematics of Diffusion. 2nd Edition, Oxford, 1975, p. 143.

[1] Crank, J. The Mathematics of Diffusion. 2nd Edition, Oxford, 1975, p. 143.

[1]

有限差分法

目录

由泰勒展開式的推導

準確度及誤差

範例：常微分方程

範例：熱傳導方程

顯式方法

隱式方法

克兰克－尼科尔森方法

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