有效域

在数学的一个分支——凸分析中，有效域是对定义域的扩展。

定義

给定一个向量空间X，则一个映射到廣義實數域的凸函数 $f:X\to ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$ 的有效域 被定义为：

$\mathrm{dom}f=\{x\in X:f(x)<+\mathrm{\infty }\}$。

对于凹函数，其有效域为：

$\mathrm{dom}f=\{x\in X:f(x)>-\mathrm{\infty }\}$。

有效域的一个等价说法是上镜图的投影，即：

$\mathrm{dom}f=\{x\in X:\mathrm{\exists }y\in ℝ:(x,y)\in \mathrm{epi}f\}$。

注意，如果一个凸函数映射到一般的实数域，即 $f:X\to ℝ$，则其有效域等价于一般的定义域。

函数 $f:X\to ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$ 被稱作是真凸函数，当且仅当f 是凸的, f的有效域非空，且对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)>-\mathrm{\infty }$。