最大與最小元

60的因數集$P$，按整除偏序$x|y$畫成哈斯圖。紅色子集$S=\{1,2,3,4\}$有兩個極大元3、4，和一個極小元1，同時也是最小元。但是，$S$沒有最大元。

数学分支序理论中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之Template:Link-en，小於等於該集合的任何元素。例如，實數集$\{-3,1,2.5,\pi \}$中，最大元是$\pi$，而最小元是$-3$，但是區間$(0,1)=\{x:0<x<1\}$並無最大元或最小元。

此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。

嚴格定義

設$(P,\le )$為偏序集（或預序集亦可），$S$為其子集。若$S$的元素$g$滿足：

對$S$的任意元素$s$，皆有$s\le g$，

則$g$稱為$S$的最大元（Template:Lang-en）。對偶地，若$S$的元素$l$滿足：

對$S$的任意元素$s$，皆有$l\le s$，

則$l$稱為$S$的最小元（Template:Lang）。

由定義，$S$的最大（小）元必定是$S$的上（下）界。且若$P$為偏序集，則集合$S$至多得一個最大元：若$g_1$和$g_2$皆為最大，則由定義有$g_1\le g_2$，又有$g_2\le g_1$，由反對稱性得$g_1=g_2$。所以若有最大元，則必定唯一。Template:Sfn若改為預序集則不一定。

整個偏序集$P$的最大最小元又稱為頂（Template:Lang）和底（Template:Lang）。頂常以符號記作$1$或$\mathrm{\top }$，底則是$0$或$\mathrm{\perp }$，在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。

與極大極小元、上下界之別

集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上確界，也不一定有最大元。舉例，實數系$ℝ$中，任何正數皆是負數子集${ℝ}^{-}$的上界，且$0$為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元（Template:Lang）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元（Template:Lang）亦不同。Template:Sfn

性質

設$(P,\le )$為偏序集，$S$為其子集。

• 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
• $S$若有最大元$g$，則$g$必定是極大元。此時，$S$衹有這一個極大元：對任意極大元$M$，由於$g$是最大元，必有$M\le g$，從而由$M$極大知$M=g$。所以若$S$有多於一個極大元，則不能有最大元。
• 若$P$滿足升链条件，則其子集$S$有最大元当且仅当其恰有一個極大元。
  • 「僅當」：最大元必然是極大元。
  • 「當」：假設$S$有唯一極大元$m$但沒有最大元。因為$m$不是最大，有$s_1\in S$與$m$不可比，又$s_1$不是極大，所以有某個$s_2\in S$滿足$s_1<s_2$。$s_2$與$m$也不可比：若$m<s_2$，則與$m$極大矛盾；反之$s_2\le m$又推出$s_1<m$，與$s_1$、$m$不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈$s_1<s_2<\cdots <s_n<\cdots$（其中每個$s_i$皆與$m$不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。

全序集的最大最小元

假如$\le$限制到子集$S$上為全序（如首段附圖的$S=\{1,2,4\}$），則在$S$中，最大元與極大元等價：若$m\in S$為極大，則對任意其他$s\in S$，必有$s\le m$（$m<s$將與$m$極大矛盾），故$m$是最大元。

所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為最大值（Template:Lang），同理最小元與極小元也稱為最小值（Template:Lang）。但上述用法與Template:Link-ja論的用法略有出入。研究實值函數時，所謂最大值是函數的值域的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。而限制到某點鄰域時，對應值域的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。最大最小值又合稱最值，極值亦同。

集合$S$的最大最小值分別記作$\max S,\min S$。在格理論或概率论中，為方便運算，會將兩數$a,b$之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作併$a\vee b$和交$a\wedge b$。換言之：

$a\vee b=\max \{a,b\},a\wedge b=\min \{a,b\}.$

例

例2之哈斯圖

• 實數集$ℝ$中，全體整數組成的子集$\mathbb{Z}$沒有上界，從而沒有最大元。
• 如圖所示，在集合$\{a,b,c,d\}$上，定義自反關係$\le$使$a\le c,$ $a\le d,$ $b\le c,$ $b\le d.$。則$c,d$皆是集合$\{a,b\}$的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又$a,b$不可比，$\{a,b\}$沒有最大元。
• 有理數集$\mathbb{Q}$中，平方小於2的數所組成的子集$\{q\in \mathbb{Q}:q^2<2\}$有上界（如$100$），但沒有最大元，也沒有上確界。
• $ℝ$中，區間$[0,1)$有上確界$1$而沒有最大元。但區間$[0,1]$有最大元$1$，同時也是上確界。
• ${ℝ}^2$配備Template:Link-en時Template:註，滿足$0<x<1$（而$y$任意）的二元組$(x,y)$的集合$A$沒有上界，也沒有最大元。
• 但當${ℝ}^2$配備字典序時Template:註，$A$有上界$(1,0)$，但仍沒有上確界和最大元。

參見

• 本质上确界和本质下确界
• 始对象和终对象
• 極大與極小元
• 上极限和下极限
• 上界和下界
• Template:Le

參考文獻

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