外共变导数

在数学中，外共变导数（Template:Lang），时或称为共变外导数（Template:Lang），是Template:Le中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。

设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 $\varphi$ 是 P 上一个张量性 k-形式，则其外共变导数定义为：

$D\varphi (X_0,X_1,\dots ,X_k)=\mathrm{d}\varphi (h(X_0),h(X_1),\dots ,h(X_k))$

这里 h 表示到水平子空间的投影，$H_x$ 由联络定义，其核为该纤维丛的全空间切丛的 $V_x$（铅直子空间）。这里 $X_i$ 是 P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0，我们有

$D^2\varphi =\mathrm{\Omega }\wedge \varphi$

这里 $\mathrm{\Omega }$ 表示曲率形式。特别的 $D^2$ 对平坦联络消没。

物理學

若A是聯絡形式、f是函數，則外共变导数是

$d_{D}f=(d+A)f$

若$M\in End(E)$是矩陣函數（E是主叢；例如，屬於G的李代數），則外共变导数是

$d_{D}M=dM+[A,M]$

而且，若F是曲率形式，則

$F=d_D^2=d_{D}A=dA+A^2$

比安基恒等式是

$d_{D}F=d_D^3=0$

相关条目

• 外联络
• 楊-米爾斯場論
• 陳-西蒙斯形式

参考文献

• Template:Cite book
• Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
• Zee (徐一鴻). QFT in Nutshell.
• Michael Nielsen. Intro to YM. -{R|http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf}- Template:Wayback