无条件收敛

在数学中，一个级数$\sum _{i\in ℐ}{a}_i$无条件收敛于一个特定值$\beta$，是指对任意小的差别$ϵ$，都会存在$ℐ$中的一个子集$𝒮$，使得对所有的包含$𝒮$的集合$𝒯$，里面的元素加起来的和与$\beta$之间的差距都小于$ϵ$。

$|\sum _{i\in 𝒯}{a}_i-\beta |\le ϵ$

当集合$ℐ$是可数集合的时候，无条件收敛等价于说“任意排列级数项的顺序都会收敛”，具体来说。一个级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$无条件收敛于一个特定值$\beta$，当且仅当对任意的从自然数到自然数的置换$\sigma$，级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}$都收敛。

当$ℐ$是不可数的集合时，无条件收敛也称为网收敛。

定义

设$X$为一个拓扑向量空间，$I$为一个指标集，满足对任意$i\in I$，$x_i\in X$。

级数$\sum _{i\in I}{x}_i$被称为无条件收敛到$x\in X$的，如果：

• 指标集$I_0:=\{i\in I:x_i\ne 0\}$是可数集；
• 任意$I_0:=\{i\in I:x_i\ne 0\}$的排列满足下列关系：$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i=x$.

与绝对收敛的关系

无条件收敛是定义在装备了距离的赋范向量空间中定义的。在赋范向量空间中还有另外一类收敛，称为绝对收敛。绝对收敛的定义是：一个级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$绝对收敛，当且仅当实数列：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert x_n\Vert$

收敛。

对于通常的实数级数或复数级数，无条件收敛和绝对收敛是等价的。在一般的有限维的巴拿赫空间中，两者也是等价的概念。而对于更一般的情况，绝对收敛能够推出无条件收敛，但反之无条件收敛并不能推出绝对收敛。

参见

• 收敛
• 绝对收敛
• 条件收敛

参考来源

• Ch. Heil: 基底理论入门 Template:Wayback
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