四元玉鉴

《四元玉-{鑑}-》是中国元朝数学家朱世傑的代表作，成书于大德七年（1303年）。书中主要讲述了多元（一元至四元）高次方程组的建立和化为一元高次方程（最高达14次）的消元法。建立四元高次方程及根据逐次消元法将多元高次方程化为一元高次方程的方法称为四元术。

四元术中根据题目设立四个未知数（天元，地元，人元，物元），和一组四个多元高次非线性方程组。然后从这些方程组中消去一个未知数，得到三个未知数的高次多项式方程组；接着从这三个三元高次方程组中消去第二个未知数，得到两个含两个未知数的高元多项式方程组；下一步从两个二元高次方程组中再消去一个未知数，最后得到只含一个未知数的的高次方程式。

建立方程以及求解方程的机械化方法，是中国传统数学的核心。张苍《九章算术》阐明了解多元线性方程的消元法（即后来高斯重新发现的高斯消元法）。宋朝秦九韶《数学九章》的玲珑开发法解决了一元高次多项式方程的求根问题。朱世-{傑}-将张苍消元法推广到多元非线性多项式方程组，将其化为一元高次多项式方程，正可以秦九韶的玲珑开方法求解。在建立方程方面，朱世-{傑}-将天元术，推广到多元变数。《四元玉-{鑑}-》融汇了张苍消元法，秦九韶玲珑开方法和天元术成就，是中国传统数学的集大成者，将中国传统数学的机械化算法推进到一个高峰。

《四元玉-{鑑}-》承前启后，继往开来，其多元多项式方程组的消元法，成为吴文俊院士的特征列数学机械化的基础之一的吴消元法^[1]。

此外，《四元玉-{鑑}-》还讲述了关于垛积术（三角垛、三角撒星垛、四角垛、圆锥垛、刍童垛、刍甍垛等高阶等差级数的求和问题和反问题）与招差术。

《四元玉-{鑑}-》分卷首、上卷、中卷、下卷，24门，收录288问，包括天元术232问，二元术36问，三元术13问，四元术7问^[2]。卷首四问是例题，有草（解题步骤），其他284问只有术而没有草。1837年，清代数学家罗士琳补草，刊行《四元玉-{鑑}-细草》三卷。

卷首

$(x + y + z + w)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 x w + 2 y z + 2 y w + 2 z w$

立四元:

Template:V1x

yTemplate:V1 Template:Rod0太Template:V1w

Template:V1z

自乘得：

一气混元

本节阐明天元术。

Template:Quote

根据条件黄方乘直积得二十四步

黄方：

(a + b - c)

^[3]

直积：

a b

得

(a + b - c) a b = 24

此外：股弦和九步

$b + c = 9$ $x = a$ (立天元一为勾) 由此得方程

Template:V3 Template:H8 Template:V-8 Template:H8 （

x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} + 729 x^{2} = 3888

）

Template:Rod0 太

Template:V7 Template:H2 Template:V9

Template:V-8 Template:H1

Template:V-9

Template:V1

解之，得勾=3

两仪化元

本节阐明二元术。

Template:Quote

天地配合求解得

Template:V-2 Template:Rod0太

Template:V-1 Template:Rod2 Template:Rod0 今式：

- 2 y^{2} - x y^{2} + 2 x y + 2 x^{2} y + x^{3} = 0

;

Template:Rod0 Template:Rod2 Template:Rod0

Template:Rod0 Template:Rod0 Template:V1

又根据所给条件得

Template:Rod2 Template:Rod0太

Template:V-1 Template:Rod2 Template:Rod0 云式：

2 y^{2} - x y^{2} + 2 x y + x^{3} = 0

;

Template:Rod0 Template:Rod0 Template:Rod0

Template:Rod0 Template:Rod0 Template:V1

由此得：

太

Template:V8

8 x + 4 x^{2} = 0

Template:V4

及

太

Template:Rod0

2 x^{2} + x^{3} = 0

Template:Rod2

Template:V1

相消得

Template:V-8

x^{2} - 2 x - 8 = 0

Template:V-2

Template:V1

解之，得 $x = 4$ 。

三才运元

本节阐明三元术

朱世杰在《三才运元》一节，比较详细的阐述逐次消元法，受到国内外学者的重视^[4]^[5]^[6]。

Template:Quote ：得到

Template:V-1太Template:V-1 今式

- y - z - y^{2} x - x + x y z = 0

Template:V1

Template:V-1 Template:Rod0 Template:V-1

Template:V-1 Template:Rod0 Template:V-1 云式：

- y - z + x - x^{2} + x z = 0

Template:V1

Template:V-1

Template:V1 Template:Rod0太Template:Rod0 Template:V-1 三元式：

y^{2} - z^{2} + x^{2} = 0;

Template:Rod0

Template:V1

三元式与云式相消，

人天易位人弦-->天勾

得：

Template:V1 Template:V1 Template:V-2太

Template:V-1 Template:V1 Template:V-1 前式

- x - 2 x^{2} + y + y^{2} + x y - x y^{2} + x^{2} y

Template:Rod0 Template:V1 Template:V-2

及

Template:V1 Template:V-2 Template:Rod2太

Template:Rod0 Template:V-2 Template:V4 Template:V-2 后式

- 2 x - 2 x^{2} + 2 y - 2 y^{2} + y^{3} + 4 x y - 2 x y^{2} + x y^{2}

Template:Rod0 Template:Rod0 Template:V1 Template:V-2

相消得

Template:V-5

Template:V6

x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 5 = 0

Template:V4

Template:V-6

Template:V1

解之得 $x = 5$ 天勾=5；

人天易位天勾-->人弦

得弦=五步。

四象会元

本节阐明四元术。

Template:Quote

得四元方程组^[7]^[8]

1： Template:0 Template:0

- 2 y + x + z = 0

;

2： Template:0 Template:0

- y^{2} x + 4 y + 2 x - x^{2} + 4 z + x z = 0

;

3： Template:0 Template:0

x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0

;

4： Template:0 Template:0

2 y - w + 2 x = 0

;

消元，物易天位

Template:H6 Template:V8 Template:H-6

4 x^{2} - 7 x - 686 = 0

Template:V-7

Template:V4

解之，

物易天位，得十四步。

卷上

直段求源

一十八问。

第十八问：Template:Quote

立天元一为开方数，得：

$16 x^{10} - 64 x^{9} + 160 x^{8} - 384 x^{7} + 512 x^{6} - 544 x^{5} + 456 x^{4} + 126 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 177162 = 0$

解之得 x=3，乘四得12，即平数。

混积问元

十八问

端匹互隐

九问

廪粟回求

六问

商功修筑

七问

和分索隐

一十三问。

卷中

如意混和

二问

方圆交错

九问

三率究圆

一十四问

Template:Quote

圓面積 $A = π r^{2} = 49 + 239 / 314$

圓周 $x = 2 π r$

圓周率 $π$ 取徽率 $3927 / 1250$

得下列方程：

$25 x^{2} - 15625 = 0$

即 $x = 25$ .

明积演段

二十问

勾股测望

八问

第一问：

Template:Quote

立天元一为邑长之半，得四次方程：

$x^{4} + 480 x^{3} - 270000 x^{2} + 15552000 x + 1866240000 = 0$ ^[9]。

解之得 x=240步，邑长=2x= 480b步=1里120步。

同理，令天元一为邑阔之半

得方程：

$x^{4} + 360 x^{3} - 270000 x^{2} + 20736000 x + 1866240000 = 0$ ^[10]。

解之得 x=180步，邑长=360步=一里。

第七问：

Template:Quote

此问与刘徽《海岛算经》望深谷同。
第八问：

Template:Quote

此问与刘徽《海岛算经》望清渊同。

或问歌彖

一十二问

茭草形段

七问

箭积交参

七问

拔换截田

一十九问

如像招数

五问。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式^[11]： Template:Quote^[12]

先求出上差（一次差），二差（二次差），三差（三次差）和下差（四次差），然后求出答案，是四次插值法（招差术)的运用^[13]

日数	招兵总数	上差（每日招兵数）	二差	三差	下差
1	27	27
2	91	64	37
3	216	125	61	24
4	432	216	91	30	6
5	775	343	127	36	6

招兵总数= $n x + \frac{n (n - 1)}{2 \times 1} y + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3 \times 2 \times 1} z + \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} w$ ^[14]。

其中x=上差, y=二差, z=三差, w=下差。

卷下

果垛叠藏

二十问此章论述三角垛、三角撒星垛、四角垛、圆锥垛、刍童垛、刍甍垛。

第一问：Template:Quote

三角垛级数： $1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{n (n + 1)}{2}$

三角垛自上而下，每边的果子数是：

1，2，3，4，5，6, $\dots$ , n.

自上而下，每个果子值钱：

2，3，4，5，6, $\dots$ , n+1.

三角果子垛价值V由下列级数表示

$v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + \dots + \frac{n (n + 1)^{2}}{2}$

这是一个已知级数和，倒求 n 的数学问题。

朱世-{杰}-用天元术，令天元一为每底边的果子数（x=n)

朱世-{杰}-用的求和公式： $v = \frac{(3 x + 5) x (x + 1) (x + 2)}{2 \times 3 \times 4}$

今 $v = 1320$ 得

$3 x^{4} + 14 x^{3} + 21 x^{2} + 10 x - 31680 = 0$ ^[15]

解之，得 $x = n = 9$ 。

$v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + 324 + 450 = 1320$ 。

锁套吞容

一十九问

方程正负

八问

杂范类会

一十三问

两仪合辙

一十二问。用天地二元^[16]。

左右逢元

二十一问。用天地二元。

三才变通

一十一问。用天，地，人三元。

四象朝元

六问，用天，地，人，物四元。

第二问：Template:Quote

得：^[17]^[18]

- 3 y^{2} + 8 y - 8 x + 8 z = 0

4 y^{2} - 8 x y + 3 x^{2} - 8 y z + 6 x z + 3 z^{2} = 0

y^{2} + x^{2} - z^{2} = 0

2 y + 4 x + 2 z - w = 0

版本

王萱玲抄本 1819
沈钦裴细草本 1822
何元锡刊本 1822年
罗士琳细草本 1837
戴煦细草抄本 1845
志古堂刻本 1891
鸿宝斋石印本 1895
万有文库：朱世杰撰罗士琳补草《四元玉鉴细草》上中下三册（据罗士琳1839年刊本影印）民国26年
历代算学集成本影印 1994
传世藏书本 1996
大中华文库《四元玉鉴》 Jade Mirror of the Four Unknowns 中英对照本两卷本郭书春今译陈在春英译郭金海整理辽宁教育出版社 2006
李兆华校正《四元玉鉴》科学出版社 2007

參考資料

↑ 吴文俊《数学机械化》第一章《古代中国多项式方程组求解》第18页科学出版社 ISBN 7-03-010764-0
↑ 《李儼钱宝琮科学史全集》第一卷钱宝琮《中国算学史上编》第329页
↑ 朱世-{杰}-原著李兆华校正《四元玉鉴》 148页科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
↑ 吴文俊数学机械化《朱世杰的一个例子》第18-19页科学出版社ISBN 7-03-010764-0
↑ 朱世-{杰}-原著李兆华校正《四元玉鉴》 149-153页科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
↑ J. Hoe Les Systèmes d'Équation Polynomes dans le siyuanyujian[1303], Institut des Hautes Études Chinoises, Paris 1977
↑ 朱世-{杰}-原著李兆华校正《四元玉鉴》 153页 ISBN 978-7-03-020112-6
↑ 《李儼钱宝琮科学史全集》第一卷李儼《中国算学史》第435-439页
↑ 万有文库第二集朱世-{杰}-撰罗士琳草（中）卷下之五四一0-四一一-
↑ 万有文库第二集朱世-{杰}-撰罗士琳草（中）卷下之五四一一页
↑ <孔国平 439-444>
↑ <朱世-{杰}- 113页>
↑ <李俨《中国算法对内插法定应用》375-382
↑ <孔国平 440-441
↑ 万有文库第二集朱世-{杰}-撰罗士琳草（中）卷下之一六四六-六四八
↑ 《李儼钱宝琮科学史全集》第一卷钱宝琮《中国算学史上编》第十九章 329页
↑ 朱世-{杰}-原著李兆华校正《四元玉鉴》 246-249页科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
↑ 万有文库第二集朱世-{杰}-撰罗士琳草（下）卷下之八一0三七-一0四七页

吴文俊主编《中国数学史大系》第六卷第四编朱世-{杰}-的数学成就 206-280 ISBN 7-303-04927-4/O

Template:中国数学史

[1] 吴文俊《数学机械化》第一章《古代中国多项式方程组求解》第18页科学出版社 ISBN 7-03-010764-0

[2] 《李儼钱宝琮科学史全集》第一卷钱宝琮《中国算学史上编》第329页

[3] 朱世-{杰}-原著李兆华校正《四元玉鉴》 148页科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6

[4] 吴文俊数学机械化《朱世杰的一个例子》第18-19页科学出版社ISBN 7-03-010764-0

[5] 朱世-{杰}-原著李兆华校正《四元玉鉴》 149-153页科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6

[6] J. Hoe Les Systèmes d'Équation Polynomes dans le siyuanyujian[1303], Institut des Hautes Études Chinoises, Paris 1977

[7] 朱世-{杰}-原著李兆华校正《四元玉鉴》 153页 ISBN 978-7-03-020112-6

[8] 《李儼钱宝琮科学史全集》第一卷李儼《中国算学史》第435-439页

[9] 万有文库第二集朱世-{杰}-撰罗士琳草（中）卷下之五四一0-四一一-

[10] 万有文库第二集朱世-{杰}-撰罗士琳草（中）卷下之五四一一页

[k-11] <孔国平 439-444>

[zu-12] <朱世-{杰}- 113页>

[L3-13] <李俨《中国算法对内插法定应用》375-382

[K2“-14] <孔国平 440-441

[15] 万有文库第二集朱世-{杰}-撰罗士琳草（中）卷下之一六四六-六四八

[16] 《李儼钱宝琮科学史全集》第一卷钱宝琮《中国算学史上编》第十九章 329页

[17] 朱世-{杰}-原著李兆华校正《四元玉鉴》 246-249页科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6

[18] 万有文库第二集朱世-{杰}-撰罗士琳草（下）卷下之八一0三七-一0四七页

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四元玉鉴

目录

卷首

一气混元

两仪化元

三才运元

四象会元

卷上

直段求源

混积问元

端匹互隐

廪粟回求

商功修筑

和分索隐

卷中

如意混和

方圆交错

三率究圆

明积演段

勾股测望

或问歌彖

茭草形段

箭积交参

拔换截田

如像招数

卷下

果垛叠藏

锁套吞容

方程正负

杂范类会

两仪合辙

左右逢元

三才变通

四象朝元

版本

參考資料

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四元玉鉴

卷首

一气混元

两仪化元

三才运元

四象会元

卷上

直段求源

混积问元

端匹互隐

廪粟回求

商功修筑

和分索隐

卷中

如意混和

方圆交错

三率究圆

明积演段

勾股测望

或问歌彖

茭草形段

箭积交参

拔换截田

如像招数

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