弗莱纳公式

空间曲线的切向量 T，法向量 N 和副法向量 B；以及切向量和法向量张成的密切平面。

在向量微积分中，弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用来描述欧几里得空间R³中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。

单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗勒内标架，他们的具体定义如下：

• T 是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。
• N 是切向量 T 对弧长参数的微分单位化得到的向量。
• B 是 T 和 N 的外积。

弗勒内公式如下：

$\begin{array}{cc}\frac{d𝐓}{ds}& =\kappa 𝐍,\\ \frac{d𝐍}{ds}& =-\kappa 𝐓+\tau 𝐁,\\ \frac{d𝐁}{ds}& =-\tau 𝐍,\end{array}$

其中d/ds 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

弗勒内公式

平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。

记r(t) 为欧式空间R³中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗勒内公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

记 s(t) 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：

$s(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\Vert {𝐫}^{\prime }(\tau )\Vert d\tau .$

由于假设r′ ≠ 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗勒内标架 (或弗勒内基底)定义如下：

• 单位切向量 T：

$𝐓=\frac{d𝐫}{ds}.(1)$

• 主法向量 N：

$𝐍=\frac{\frac{d𝐓}{ds}}{\Vert \frac{d𝐓}{ds}\Vert }.(2)$

• 副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：

$𝐁=𝐓\times 𝐍.(3)$

螺旋线上弗勒内标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑色的箭头表示副法向量。

由于 $|𝐓|=1,\frac{d(𝐓\cdot 𝐓)}{ds}=2𝐓\cdot 𝐍=0,$ 所以 N 与 T 垂直。 方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。

弗勒内公式如下：

$\begin{array}{ccccc}\frac{d𝐓}{ds}& =& & \kappa 𝐍& \\ & & & & \\ \frac{d𝐍}{ds}& =& -\kappa 𝐓& & +\tau 𝐁\\ & & & & \\ \frac{d𝐁}{ds}& =& & -\tau 𝐍& \end{array}$

其中 κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。

弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理，并且可以写做矩阵的形式：

$\left[\begin{array}{c}{𝐓}^{\prime }\\ {𝐍}^{\prime }\\ {𝐁}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& \kappa & 0\\ -\kappa & 0& \tau \\ 0& -\tau & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}𝐓\\ 𝐍\\ 𝐁\end{array}\right].$

其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

参阅

• 曲线仿射几何
• 曲线微分几何
• 达布标架
• 运动学

参考资料

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• Template:Citation. Abstract in J. de Math. '17', 1852.
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外部链接

• Rudy Rucker's KappaTau Paper.
• Very nice visual representation for the trihedron