廣義多項式韋格納頻譜圖

Template:Cleanup-jargon Template:Copyedit 廣義多項式韋格納頻譜圖（generalized polynomial Wigner spectrogram），是一種用於時頻分析的方法，屬於信號處理的範疇。一個好的時頻分析講求在頻譜圖上要有高的解析度，並且不能有相交項(cross term)，才能得到準確的瞬時頻率，但這兩點之間常須進行取捨。韋格納分佈雖然解析度較高，但在許多情況下會有相交項，例如瞬時頻率為高階指數函數時或多組件時；在瞬時頻率為高階指數函數時Template:Tsl除了能保有高解析度之外還能消除相交項，但在多組件情況下的相交項仍然存在；加伯轉換沒有相交項，但解析度較低，廣義頻譜圖雖然強化了加伯轉換的解析度，但仍比韋格納分佈來得模糊。

廣義多項式韋格納頻譜圖透過結合廣義頻譜圖與Template:Tsl的優點，來達到同時高解析度與沒有相交項的目標。

原理

韋格納分佈

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau$$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta$

多項式韋格納分佈

在$x(t)=\exp (j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^n)$時，

$PWV{D}_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^{n-1}\tau )e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

透過設定$d_{\ell }$使下式成立，

$\exp (j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^{n-1}\tau )=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )$

即可得到，

$PWV{D}_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^{n-1}\tau )d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^{n-1}\tau )$

亦即$x(t)$的瞬時頻率。

加伯轉換

$G_{x,w}\left(t,f\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}w\left(t-\tau \right)x\left(\tau \right)e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

亦即使用高斯函數做為短時距傅立葉轉換的窗函數。

廣義頻譜圖

$S{P}_{x,w_1,w_2}(t,f)=G_{x,w_1}(t,f)G_{x,w_2}^{*}(t,f)$

其中$w_1(t),w_2(t)$為兩個不同的窗函數，

$G_{x,w_1}\left(t,f\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{w}_1\left(t-\tau \right)x\left(\tau \right)e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

$G_{x,w_2}\left(t,f\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{w}_2\left(t-\tau \right)x\left(\tau \right)e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

若$w_1(t)=w_2(t)$，則為一般頻譜圖。

不過根據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。

因此若兩個窗函數一個較窄一個較寬，加伯轉換後會得到解析度分別在時域與頻域較好的兩個頻譜圖，再透過相乘即可得到解析度在時頻兩域均好的頻譜圖。

廣義多項式韋格納頻譜圖

$C_x(t,f)=p(S{P}_x(t,f),|PWV{D}_x(t,f)|)$，其中$p(x,y)$可以是任何輸入兩個變數的函數。

如果在$\min (x,y)=0$時$p(x,y)=0$，即可達到去除相交項的同時保有高解析度的特性。

例如：

• $p(x,y)=xy$，$C_x(t,f)=S{P}_x(t,f)|PWV{D}_x(t,f)|$ 由於多項式韋格納分佈會有相交項，透過相乘，相交項$PWV{D}_x(t,f)\ne 0$會因為$S{P}_x(t,f)=0$而消掉； 因為廣義頻譜圖解析度較低，在瞬時頻率附近的頻率$S{P}_x(t,f)\ne 0$，但對於解析度較高的多項式韋格納分佈來說$PWV{D}_x(t,f)\simeq 0$，因此相乘後$C_x(t,f)\simeq 0$提高解析度。 其他類似變型有：
  • $p(x,y)=x^{\alpha }{y}^{\beta }$，$C_x(t,f)=S{P}_x^{\alpha }(t,f)|PWV{D}_x^{\beta }(t,f)|$
  • 也可以加個閾，$C_x(t,f)=thr[S{P}_x^{\alpha }(t,f)]|PWV{D}_x^{\beta }(t,f)|$， 其中$thr(x)=\{\begin{array}{cc}x-\mathrm{\Delta }& ,x>\mathrm{\Delta }\\ 0& ,x\le \mathrm{\Delta }\end{array}$，閾值$\mathrm{\Delta }$可自行設定任意值
• $C_x(t,f)=\min \{A_{1}S{P}_x(t,f),A_2|PWV{D}_x(t,f)|\}$
• $C_x(t,f)=S{P}_x^{\alpha }(t,f)|PWV{D}_x^{\beta }(t,f)|\cdot \{[S{P}_x(t,f)>{\mathrm{\Delta }}_1]\mathrm{\&}[|PWV{D}_x(t,f)|>{\mathrm{\Delta }}_2]\}$

優缺點比較

比較各種時頻分析方法的優缺點

時頻分析方法	時域高解析度	頻域高解析度	在瞬時頻率為高階指數函數時 避免交叉項	多組件時 避免交叉項
短時距傅立葉轉換（窄窗函數）	Δ	Χ	Ο	Ο
短時距傅立葉轉換（寬窗函數）	Χ	Δ	Ο	Ο
廣義頻譜圖	Δ	Δ	Ο	Ο
韋格納分佈	Ο	Ο	Χ	Χ
科恩系列分佈	Ο	Ο	Δ	Δ
Template:Tsl	Ο	Ο	Ο	Χ
廣義多項式韋格納頻譜圖	Ο	Ο	Ο	Ο

参考资料

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.