廣義頻譜圖

廣義頻譜圖（Generalized spectrogram），為頻譜圖的通用型。為了得知信號隨著時間的頻率分布狀態，以頻譜圖觀察時，其解析度受到測不準原理影響，頻率解析度與時間解析度相乘為定值。為解決此問題，於是將頻譜圖推廣至廣義頻譜圖。

一段隨時間變化的信號，同時具有時域和頻域的特徵，若想要了解一個信號在某段時間內的頻率特徵，最好的方式就是使用時頻分析，觀察一段信號的時頻分布圖。頻譜圖(Spectrogram)就是其中一種同時表示時間和頻率特徵的分布圖。

廣義頻譜圖的定義

以高斯函數作為窗函數(window function)，使用時頻分析，求出兩組不同長度的窗函數的加伯轉換，即 $G_{x, w_{1}} (t, f)$ 和 $G_{x, w_{2}} (t, f)$ ，再將 $G_{x, w_{2}} (t, f)$ 取共軛複數後相乘。公式如下：

$S P_{x, w_{1}, w_{2}} (t, f) = G_{x, w_{1}} (t, f) G_{x, w_{2}}^{*} (t, f)$

其中 $w_{1} (t), w_{2} (t)$ 為加伯轉換的窗函數， $t$ 為時間 $f$ 為頻率。

加伯轉換的公式如下：

$G_{x, w_{1}} (t, f) = \int_{- \infty}^{\infty} w_{1} (t - τ) x (τ) e^{- j 2 π f τ} d τ$

$G_{x, w_{2}} (t, f) = \int_{- \infty}^{\infty} w_{2} (t - τ) x (τ) e^{- j 2 π f τ} d τ$

若將 $w_{1} (t) = w_{2} (t)$ ，則與原本頻譜圖無異。

長度不同的窗函數，其時頻域的解析度不同，依據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。

為了同時在時間和頻率軸上都達到更好的解析度，把在頻譜圖原定義中的 $w (t)$ 分為兩個長短不同的波形。例如 : 可以讓 $w_{1} (t)$ 長度較寬，在頻域上面有良好的解析度，而 $w_{2} (t)$ 則長度較窄，在時域上有良好的解析度。先分別運算 $G_{x, w_{1}} (t, f)$ 和 $G_{x, w_{2}} (t, f)$ ，再相乘，變為 $S P_{x, w_{1}, w_{2}} (t, f)$ 。如此一來時域和頻域上的解析度都能兼顧到。

優點

有優於測不準原理的時間解析度與空間解析度。
由於各自的加伯轉換並不會有cross term，故此方法也不會有cross term出現。
有省時方法：當一組加伯轉換中的數值為零時，我們將不用去計算另一組，因為相乘後還是零。

缺點

需要計算兩組加伯轉換，即與頻譜圖相比，最高會多花兩倍的時間
需要去最佳化 $w_{1} (t)$ 與 $w_{2} (t)$

例子

當我們的輸入信號為：

x_{1} (t) = {\begin{matrix} \cos (2 π t); & t < 10 \\ \cos (3 π t); & 10 \leq t < 20 \\ \cos (6 π t); & t > 20 \end{matrix}

我們先分別求出 $σ = 0.1$ 與 $σ = 1.6$ 的。經Matlab計算後，如下圖

將其中一個取共軛複數後，兩者相乘，得到廣義頻譜圖如下；

我們可以與 $σ = 0.4$ 的加伯轉換比較：

可以發現廣義頻譜圖無論是在時間解析度下，或是頻率解析度下，都優於 $σ = 0.4$ 的加伯轉換。

變形

原本的廣義頻譜圖公式為 $S P_{x, w_{1}, w_{2}} (t, f) = G_{x, w_{1}} (t, f) G_{x, w_{2}}^{*} (t, f)$

我們可以對此再進行一般化，如下

$S P_{x, w_{1}, w_{2}} (t, f) = G_{x, w_{1}}^{α} (t, f) G_{x, w_{2}}^{β} (t, f)$

或者如下方形式：

$S P_{x, w_{1}, w_{2}} (t, f) = {| G_{x, w_{1}} (t, f) |}^{α} {| G_{x, w_{2}} (t, f) |}^{β}$

兩種方法新增了 $α$ 、 $β$ 兩變數，期望能找到更好的解析度。

參見

參考來源

丁建均上課講義。時頻分析與小波轉換 Template:Wayback，p189-p192。2016.1.19
P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。

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