科恩系列分佈

Template:NoteTA 科恩系列分佈（Cohen's class distribution）於1966年由L. Cohen首次提出，且其使用雙線性轉換亦是此種轉換形式中最通用的一種。在幾種常見的時頻分佈中，Cohen's class分佈是最強大的轉換之一。隨著近幾年來時頻分析發展，應用也越來越多元。Cohen's class分佈和短時距傅立葉變換比較起來有較高的清晰度，但也相對的有交叉項(cross-term)的問題，不過可選擇適當的遮罩函數(mask function)來將交叉項的問題降到最低。

數學定義

$C_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{A}_x(\eta ,\tau )\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )\exp (j2\pi (\eta t-\tau f))d\eta d\tau ,$ ，

其中 $A_x(\eta ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta }dt.$ 為模糊函數(Ambiguity Function) ，且$\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )$為一遮罩函數，通常是低通函數用來濾除雜訊。

科恩系列分佈函數

韋格納分布(Wigner Distribution Function)

當Cohen's class分佈中的$\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )=1$時，Cohen's class分佈會成韋格納分布(Wigner distribution function)$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi f\tau }d\tau$。

利用韋格納分佈對函數$x(t)=exp(j0.015t^4+j0.06t^3-j0.3t^2+jt)$作時頻分析的結果可見右圖。

錐狀分布(Cone-Shape Distribution)

當Cohen's class分佈中的$\varphi (t,\tau )=\frac{1}{\left|\tau \right|}exp(-2\pi \alpha {\tau }^2)\mathrm{\Pi }(\frac{t}{\tau })$，且$\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )=sinc(\eta \tau )exp((-2\pi \alpha {\tau }^2)$時，

其中$\varphi (t,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )exp(j2\pi \eta t)d\eta$，Cohen's class分佈會成錐狀分布。

右圖為不同的$\alpha$值下的錐狀分佈時頻分析圖。

喬伊-威廉斯(Choi-Williams)

當Cohen's class分佈中的$\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )=exp[-\alpha (\eta \tau {)}^2]$時，Cohen's class分佈會成喬伊-威廉斯分布。

右圖為不同的$\alpha$值下的錐狀分佈時頻分析圖。

科恩系列分佈優缺點

優點:

1.可選擇適當的遮罩函數來避免掉交叉項問題 。

2.具有高清晰度。

缺點

1. 需要較高的計算量與時間。

2. 缺乏良好的數學特性。

科恩系列分佈的實現

$C_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{A}_x(\eta ,\tau )\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )\exp (j2\pi (\eta t-\tau f))d\eta d\tau ,$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(u+\frac{\tau }{2})x^{*}(u-\frac{\tau }{2})\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )e^{-j2\pi u\eta +j2\pi (\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

簡化方法一:不是所有的$A_x(\eta ,\tau )$的值都要計算出

對$\left|\eta \right|>B$或$\left|\tau \right|>C$，若$\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )=0$，則$C_x(t,f)=\underset{-C}{\overset{C}{\int }}\underset{-B}{\overset{B}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(u+\frac{\tau }{2})x^{*}(u-\frac{\tau }{2})\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )e^{-j2\pi u\eta +j2\pi (\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

簡化方法二:注意，$\eta$這個參數和輸入及輸出都無關

$C_x(t,f)=\underset{-C}{\overset{C}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(u+\frac{\tau }{2})x^{*}(u-\frac{\tau }{2})[\underset{-B}{\overset{B}{\int }}\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )e^{-j2\pi ,\eta (t-u)}d\eta ]e^{-j2\pi \tau ,f}dud\tau$

$=\underset{-C}{\overset{C}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(u+\frac{\tau }{2})x^{*}(u-\frac{\tau }{2})\mathrm{\Phi }(\tau ,t-u)e^{-j2\pi \tau ,f}dud\tau$，其中

$\mathrm{\Phi }(\tau ,t-u)=\underset{-B}{\overset{B}{\int }}\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )e^{-j2\pi ,\eta (t-u)}d\eta$，由於$\mathrm{\Phi }(\tau ,t-u)$和輸入無關，可事先算出，因此可簡化成兩個積分式。

簡化方法三:使用摺積方法(convolution)

$C_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(u+\frac{\tau }{2})x^{*}(u-\frac{\tau }{2})\varphi (t-u,\tau )du{e}^{-j2\pi f\tau }d\tau$，其中

$\varphi (t,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(\eta ,\tau )exp(j2\pi \eta t)d\eta$。對$\left|t\right|>b$或是$\left|\tau \right|>c$，則

$C_x(t,f)=\underset{-c}{\overset{c}{\int }}\underset{t-b}{\overset{t+b}{\int }}x(u+\frac{\tau }{2})x^{*}(u-\frac{\tau }{2})\varphi (t-u,\tau )du{e}^{-j2\pi f\tau }d\tau$，上式為一摺積式。

模糊函數 (Ambiguity Function)

模糊函數的定義為：

$A_x(\eta ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\frac{\tau }{2})x^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi t\eta }dt$

Modulation 和 Time Shifting 對模糊函數的影響

我們來看一下 $x(t)$ 對於模糊函數的影響

(1) 假設 $x_1(t)$ 是一個高斯函數: $a{e}^{-(t-b{)}^2/2c^2}$, 其中 $a=1,b=0,c=\sqrt{\frac{1}{2\alpha }}$

那麼我們可以得到 $x_1(t)=e^{-\alpha \pi t^2}$, 代入模糊函數 $A_x(\eta ,\tau )$ 中：

$A_{x_1}(\eta ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \pi {(t+\frac{\tau }{2})}^2}{e}^{-\alpha \pi {(t-\frac{\tau }{2})}^2}{e}^{-j2\pi t\eta }dt$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \pi (2t^2+{\frac{\tau }{2}}^2)}{e}^{-j2\pi t\eta }dt$

(2) 假設 $x_2(t)$ 是一個經過 shifting 和 modulation 的高斯函數:

那麼我們可以得到 $x_2(t)=e^{-\alpha \pi (t-t_0{)}^2+j2\pi f_{0}t}$, 代入模糊函數 $A_x(\eta ,\tau )$ 中：

$A_{x_2}(\eta ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \pi {(t+\frac{\tau }{2}-t_0)}^2+j2\pi f_0(t+\frac{\tau }{2})}{e}^{-\alpha \pi {(t-\frac{\tau }{2}-t_0)}^2-j2\pi f_0(t-\frac{\tau }{2})}{e}^{-j2\pi t\eta }dt$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \pi (2(t-t_0{)}^2+{\tau /2}^2)+j2\pi f_0\tau }{e}^{-j2\pi t\eta }dt$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \pi (2t^2+\frac{{\tau }^2}{2})}{e}^{j2\pi f_0\tau }{e}^{-j2\pi t\eta }{e}^{-j2\pi t_0\eta }dt$

我們可以看到 $|A_{x_1}(\tau ,\eta )|=|A_{x_2}(\tau ,\eta )|$,

因此我們可以得出 time shifting $t_0$ 和 modulation $f_0$ 並不會影響 $|A_x(\tau ,\eta )|$

積分後，$A_x(\tau ,\eta )=\sqrt{\frac{1}{2\alpha }}{e}^{-\pi (\frac{\alpha {\tau }^2}{2}+\frac{{\eta }^2}{2\alpha })}{e}^{j2\pi (f_0\tau -t_0\eta )}$

所以 $A_x(\tau ,\eta )$ 在 $\tau =0,\eta =0$ 的地方會有最大的 $|A_x(\tau ,\eta )|$

交叉項 Cross-term 問題

上述所列出來的是當 $x(t)$ 只有一項而已 (one term only)，如果 $x(t)$ 有兩項以上的元素構成 (more than two terms), $x(t)=x_1(t)+x_2(t)+\cdot \cdot \cdot +x_n(t)$，依然會有交叉項 (cross-term) 的問題存在。

假設 $x(t)=x_1(t)+x_2(t)$ , 其中

$\{\begin{array}{c}{x}_1(t)=e^{-{\alpha }_1\pi (t-t_1{)}^2+j2\pi f_{1}t}\\ x_2(t)=e^{-{\alpha }_2\pi (t-t_2{)}^2+j2\pi f_{2}t}\end{array}$

將 $x(t)$ 代入模糊函數 $A_x(\eta ,\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\frac{\tau }{2})x^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi t\eta }dt$ 中：

$A_x(\eta ,\tau )=\underset{A_{x_1}(\tau ,\eta )}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}_1(t+\frac{\tau }{2})x_1^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi t\eta }dt}}+\underset{A_{x_2}(\tau ,\eta )}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}_2(t+\frac{\tau }{2})x_2^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi t\eta }dt}}$

$+\underset{A_{x_1{x}_2}(\tau ,\eta )}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}_1(t+\frac{\tau }{2})x_2^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi t\eta }dt}}+\underset{A_{x_2{x}_1}(\tau ,\eta )}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}_2(t+\frac{\tau }{2})x_1^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi t\eta }dt}}$

其中 $\{\begin{array}{c}Auto-terms:A_{x_1}(\tau ,\eta ),A_{x_2}(\tau ,\eta )\\ Cross-terms:A_{x_1{x}_2}(\tau ,\eta ),A_{x_2{x}_1}(\tau ,\eta )\end{array}$

Auto - terms

$A_{x_1}(\tau ,\eta )=\sqrt{\frac{1}{2{\alpha }_1}}{e}^{-\pi (\frac{{\alpha }_1{\tau }^2}{2}+\frac{{\eta }^2}{2{\alpha }_1})}{e}^{j2\pi (f_1\tau -t_1\eta )}$

$A_{x_2}(\tau ,\eta )=\sqrt{\frac{1}{2{\alpha }_2}}{e}^{-\pi (\frac{{\alpha }_2{\tau }^2}{2}+\frac{{\eta }^2}{2{\alpha }_2})}{e}^{j2\pi (f_2\tau -t_2\eta )}$

Cross - terms

(1) ${\alpha }_1\ne {\alpha }_2$

$A_{x_1{x}_2}(\tau ,\eta )=\sqrt{\frac{1}{({\alpha }_1+{\alpha }_2)}}{e}^{-\pi (\frac{({\alpha }_1+{\alpha }_2)(\tau -t_1+t_2{)}^2}{4}+\frac{[({\alpha }_1-{\alpha }_2)(\tau -t_1+t_2)-j2(\eta -f_1+f_2){]}^2}{4({\alpha }_1+{\alpha }_2)})}{e}^{j2\pi [(\frac{f_1+f_2}{2})\tau -\frac{t_1+t_2}{2}\eta +\frac{(f_1-f_2)(t_1+t_2)}{2}]}$

$=\sqrt{\frac{1}{2{\alpha }_u}}{e}^{-\pi (\frac{{\alpha }_u(\tau -t_d{)}^2}{2}+\frac{[{\alpha }_d(\tau -t_d)-j2(\eta -f_d){]}^2}{8{\alpha }_u})}{e}^{j2\pi (f_u\tau -t_n\eta +f_d{t}_u)}$

$A_{x_2{x}_1}(\tau ,\eta )=A_{x_1{x}_2}^{*}(-\tau ,-\eta )$

$\{\begin{array}{c}{t}_u=\frac{t_1+t_2}{2},f_u=\frac{f_1+f_2}{2},{\alpha }_u=\frac{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{2}\\ t_d=t_1-t_2,f_d=f_1-f_2,{\alpha }_d={\alpha }_1-{\alpha }_2\end{array}$

(2) ${\alpha }_1={\alpha }_2$

$A_{x_1{x}_2}(\tau ,\eta )=\sqrt{\frac{1}{2{\alpha }_u}}{e}^{-\pi (\frac{{\alpha }_u(\tau -t_d{)}^2}{2}+\frac{(\eta -f_d{)}^2}{2{\alpha }_u})}{e}^{j2\pi (f_u\tau -t_n\eta +f_d{t}_u)}$

$A_{x_2{x}_1}(\tau ,\eta )=A_{x_1{x}_2}^{*}(-\tau ,-\eta )$

因此，我們目前得到

$A_{x_1}(\tau ,\eta ),A_{x_2}(\tau ,\eta )$

(auto-terms) 和

$A_{x_1{x}_2}(\tau ,\eta ),A_{x_2{x}_1}(\tau ,\eta )$

(cross-terms) 的公式，我們再仔細的分析 auto-terms 和 cross-terms 分別發生最大值的位置。

Ambiguity Function 分析圖

首先，先看 Auto-terms：

$|A_{x_1}(\tau ,\eta )|$最大值發生在 $\tau =0,\eta =0$的地方

$|A_{x_2}(\tau ,\eta )|$最大值發生在 $\tau =0,\eta =0$的地方

而 Cross-terms：

$|A_{x_1{x}_2}(\tau ,\eta )|$最大值發生在 $\tau =t_d,\eta =f_d$的地方

$|A_{x_2{x}_1}(\tau ,\eta )|$最大值發生在 $\tau =-t_d,\eta =-f_d$的地方

換句話說，如果我們繪製一個 x軸為 $\tau$, y軸為 $\eta$ 的座標圖，Auto-terms發生在原點 $(0,0)$ 的位置，而 Cross-terms 則是以原點為對稱中心，在第一象限和第三象限的位置，

這也是為什麼可以透過一個低通函數來濾除雜訊，把主成分 Auto-terms 分離出來，避免交叉項的問題。

與 維格納分布 Wigner Distribution Function 的不同

維格納分布是由尤金·維格納於 1932 年提出的新的時頻分析方法，對於非穩態的訊號有不錯的表現。

相較於傅立葉轉換或是短時距傅立葉轉換，維格納分布能有比較好的解析能力。

維格納分布的定義為:

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\frac{\tau }{2})x^{*}(t-\frac{\tau }{2})e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

如果我們假設 $x(t)$ 是一個具有弦波特性的訊號, $x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}$

那麼將此

$x(t)$

代入維格納分布中，

Wigner Distribution Function 分析圖

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{j2\pi f_0(t+\frac{\tau }{2})}{e}^{-j2\pi f_0(t-\frac{\tau }{2})}{e}^{-j2\pi \tau f}d\tau$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{j2\pi f_0\tau }{e}^{-j2\pi \tau f}d\tau$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-j2\pi \tau (f-f_0)}d\tau$

$=\delta (f-f_0)$

所以當 $x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 時，$W_x(t,f)$ 在 $f=f_0$ 的地方會有最大值。

換句話說，當 $x(t)$有 modulation $f_0$ 或是有 time shifting $t_0$ 的情況發生時，會影響維格納分布 (Wigner Distribution Function) 最大值 $|W_x(t,f)|$ 的位置

然而，對於科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言，time shifting $t_0$ 和 modulation $f_0$ 並不會影響 $|A_x(\tau ,\eta )|$

參考

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.