康托尔分布

该分布即没有概率密度函数，也没有概率质量函数，因为虽然其累积分布函数是一个连续函数，但其分布在勒贝格测度意义下既不是绝对连续的，也没有任何点质量。因此它既不离散的概率分布，也不是一个绝对连续的概率分布，同时不是这两个混合的概率分布。相反，它是一个奇异分布的例子。

其累积分布函数是处处连续的，但也几乎处处水平，所以有时被称为魔鬼的楼梯，虽然这个用语有更广泛的意义。

特征

康托尔分布的基础是康托集，本身是多个可数无限集的交:

\begin{matrix} C_{0} = & [0, 1] \\ C_{1} = & [0, 1 / 3] \cup [2 / 3, 1] \\ C_{2} = & [0, 1 / 9] \cup [2 / 9, 1 / 3] \cup [2 / 3, 7 / 9] \cup [8 / 9, 1] \\ C_{3} = & [0, 1 / 27] \cup [2 / 27, 1 / 9] \cup [2 / 9, 7 / 27] \cup [8 / 27, 1 / 3] \cup \\ [2 / 3, 19 / 27] \cup [20 / 27, 7 / 9] \cup [8 / 9, 25 / 27] \cup [26 / 27, 1] \\ C_{4} = & [0, 1 / 81] \cup [2 / 81, 1 / 27] \cup [2 / 27, 7 / 81] \cup [8 / 81, 1 / 9] \cup [2 / 9, 19 / 81] \cup [20 / 81, 7 / 27] \cup \\ [8 / 27, 25 / 81] \cup [26 / 81, 1 / 3] \cup [2 / 3, 55 / 81] \cup [56 / 81, 19 / 27] \cup [20 / 27, 61 / 81] \cup \\ [62 / 81, 21 / 27] \cup [8 / 9, 73 / 81] \cup [74 / 81, 25 / 27] \cup [26 / 27, 79 / 81] \cup [80 / 81, 1] \\ C_{5} = & \dots \end{matrix}

康托尔分布对任何 C_t (t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }) 中 2^t 个包含康托尔分布随机变量的特定区间，都有独特的概率 2^-t.

通过对称性很容易看出，具有这样分布的一个随机变量 X，其期望值 E(X) = 1/2，且所有 X 的奇数阶中心矩都是 0。

方差 var(X) 可由Template:Link-en求得。具体操作如下：对上述集合 C₁，如果 X ∈ [0,1/3] 则令 Y = 0，如果 X ∈ [的2/3，1]，令 Y = 1。然后有

\begin{matrix} var (X) & = E (var (X ∣ Y)) + var (E (X ∣ Y)) \\ = \frac{1}{9} var (X) + var {\begin{matrix} 1 / 6 & with probability 1 / 2 \\ 5 / 6 & with probability 1 / 2 \end{matrix}} \\ = \frac{1}{9} var (X) + \frac{1}{9} \end{matrix}

从而我们得到：

var (X) = \frac{1}{8} .

任意偶数阶中心矩的封闭表达式可由：先获得偶数项累积量 [1] Template:Wayback

κ_{2 n} = \frac{2^{2 n - 1} (2^{2 n} - 1) B_{2 n}}{n (3^{2 n} - 1)},

其中 B_2n 是第2n 个伯努利数，然后用该累积量的方程作为矩的表达。