平行軸定理

假設z'-軸平行於質心軸，則剛體對於z'-軸的轉動慣量可以從鋼體對於質心軸的轉動慣量計算出來。

面積慣性矩的平行軸定理

平行軸定理（英語：parallel axis theorem）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

讓 $I_C$ 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、$M$ 代表剛體的質量、$d$ 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z'-軸的轉動慣量是

$I_{z^{\prime }}=I_C+M{d}^2$ 。

平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於截面二次軸矩（面積慣性矩）：

$I_z=I_x+A{d}^2$ ；

這裏，$I_z$ 是對於 z-軸的面積慣性矩、$I_x$ 是對於平面質心軸的面積慣性矩、$A$ 是面積、$d$ 是 z-軸與質心軸的垂直距離。

因雅各·史丹納 (Template:Lang) 而命名，史丹納定理所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。

進階理論

平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角座標系 Qxyz ，一個剛體的慣性張量 $𝐈$ 是

$𝐈=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]$ 。

這裏，對角元素 $I_{xx}$ 、$I_{yy}$ 、$I_{zz}$ 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定 $(x,y,z)$ 為微小質量 $dm$ 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為

$I_{xx}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int y^2+z^{2}dm$ ，

$I_{yy}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int x^2+z^{2}dm$ ，

$I_{zz}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int x^2+y^{2}dm$ 。

而非對角元素，稱為慣性積, 可以定義為

$I_{xy}=I_{yx}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-\int xydm$ ，

$I_{xz}=I_{zx}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-\int xzdm$ ，

$I_{yz}=I_{zy}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-\int yzdm$ 。

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 ${𝐈}_G$ ，質心 G 的位置是 $(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$ ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 $𝐈$ ，依照平行軸定理，可以表述為

$I_{xx}=I_{G,xx}+m({\overline{y}}^2+{\overline{z}}^2)$ ，

$I_{yy}=I_{G,yy}+m({\overline{x}}^2+{\overline{z}}^2)$ ，

$I_{zz}=I_{G,zz}+m({\overline{x}}^2+{\overline{y}}^2)$ ，

$I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m\overline{x}\overline{y}$ ，

$I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m\overline{x}\overline{z}$ ，

$I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m\overline{y}\overline{z}$ 。

證明：

慣性張量的平行軸定理

a) 參考右圖 ，讓 $(x{}^{\prime },y{}^{\prime },z{}^{\prime })$ 、$(x,y,z)$ 分別為微小質量 $dm$ 對質心 G 與原點 O 的相對位置：

$y=y{}^{\prime }+\overline{y}$ ，$z=z{}^{\prime }+\overline{z}$ 。

依照慣性張量的慣性矩定義方程式，

$I_{G,xx}=\int y{}^{\prime }{}^2+z{}^{\prime }{}^{2}dm$ ，

$I_{xx}=\int y^2+z^{2}dm$ 。

所以，

$\begin{array}{cc}{I}_{xx}& =\int (y{}^{\prime }+\overline{y}{)}^2+(z{}^{\prime }+\overline{z}{)}^{2}dm\\ & =I_{G,xx}+m({\overline{y}}^2+{\overline{z}}^2).\\ \end{array}$

相似地，可以求得 $I_{yy}$ 、$I_{zz}$ 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ，

$I_{G,xy}=-\int x{}^{\prime }y{}^{\prime }dm$ ，

$I_{xy}=-\int xydm$ 。

因為 $x=x{}^{\prime }+\overline{x}$ ，$y=y{}^{\prime }+\overline{y}$ ，所以

$\begin{array}{cc}{I}_{xy}& =-\int (x{}^{\prime }+\overline{x})(y{}^{\prime }+\overline{y})dm\\ & =I_{G,xy}-m\overline{x}\overline{y}.\\ \end{array}$

相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

實例

實心長方體：a)座標系統的原點在質心。b)座標系統的原點在角落。

思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量，

$I_G=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{12}m(w^2+h^2)& 0& 0\\ 0& \frac{1}{12}m(h^2+d^2)& 0\\ 0& 0& \frac{1}{12}m(w^2+d^2)\end{array}\right]$

如圖右，質心 G 的位置是 $(\frac{d}{2},\frac{w}{2},\frac{h}{2})$ 。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

$I_{xx}=\frac{1}{12}m(w^2+h^2)+m({\left(\frac{w}{2}\right)}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2)$ 、

$I_{yy}=\frac{1}{12}m(h^2+d^2)+m({\left(\frac{h}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2)$ 、

$I_{zz}=\frac{1}{12}m(w^2+d^2)+m({\left(\frac{w}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2)$ 、

$I_{xy}=-m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)=-\frac{mwd}{4}$ 、

$I_{xz}=-m\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)=-\frac{mhd}{4}$ 、

$I_{yz}=-m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{h}{2}\right)=-\frac{mwh}{4}$ 。

因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是

$I_G=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}m(w^2+h^2)& -\frac{1}{4}mwd& -\frac{1}{4}mhd\\ -\frac{1}{4}mwd& \frac{1}{3}m(h^2+d^2)& -\frac{1}{4}mwh\\ -\frac{1}{4}mhd& -\frac{1}{4}mwh& \frac{1}{3}m(w^2+d^2)\end{array}\right]$

參閱

• 轉動慣量列表
• 垂直轴定理

參考文獻

• Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部連結

• 南台科技大學高職教師進修網站