垂直軸定理

在物理學裏，垂直軸定理（也叫“正交轴定理”）可以用來計算一片薄片的轉動慣量。思考一個直角座標系，其中兩個座標軸都包含與平行於此薄片；如果已知此薄片對於這兩個座標軸的轉動慣量，則垂直軸定則可以用來計算薄片對於第三個座標軸的轉動慣量。

假設OXYZ座標系統的 X-軸與 Y-軸都包含與平行於此薄片，而 Z-軸垂直於薄片的面。 $I_{X}$ 與 $I_{Y}$ 分別代表薄片對於 X-軸與 Y-軸的轉動慣量．那麼，薄片對於 Z-軸的轉動慣量為

I_{Z} = I_{X} + I_{Y}

。

垂直軸定理、平行軸定理、與伸展定則可以用來計算許多不同形狀的物體的轉動慣量。

導引

任何實際存在的剛體都有厚度；不可能有零厚度的剛體。參考右圖，假設這剛體是一塊很薄的薄片，厚度 $t$ 是均勻的，密度也是均勻的。設定薄片的面與 XY-面共平面。那麼，剛體對於 X-軸、Y-軸、與 Z-軸的轉動慣量分別為

I_{X} = \int (y^{2} + z^{2}) d m

、

I_{Y} = \int (x^{2} + z^{2}) d m

、

I_{Z} = \int (x^{2} + y^{2}) d m

。

由於厚度超小於薄片的面尺寸，我們可以忽略 $z^{2}$ 對於積分的貢獻．因此，

I_{X} \approx \int y^{2} d m

、

I_{Y} \approx \int x^{2} d m

。

所以，

I_{Z} = I_{X} + I_{Y}

。

a) 如右圖，一個半徑為 $r$ ，質量為 $m$ 的薄圓盤，對於 Z-軸的轉動慣量為

I_{Z} = \frac{1}{2} m r^{2}

。

所以，對於X-軸與 Y-軸的轉動慣量是

I_{X} = I_{Y} = \frac{I_{Z}}{2} = \frac{1}{4} m r^{2}

。

b) 如右圖，一個尺寸為 $a \times b$ ，質量為 $m$ 的長方形薄片,對於 X-軸、Y-軸、與 Z-軸的轉動慣量分別為

I_{X} = \frac{1}{12} m a^{2}

、

I_{Y} = \frac{1}{12} m b^{2}

、

I_{Z} = \frac{1}{12} m (a^{2} + b^{2})

。

很明顯地，

I_{Z} = I_{X} + I_{Y}

。