布靈根式

實係數下布靈根式的圖

布靈根式（Template:Lang-en）或是超根式（Template:Lang-en）是代數术語。布靈根式不是一般意義下的根式（n次方根，或“单位根”），複數a的布靈根式可以用$\mathrm{B}\mathrm{R}(a)$表示，是指以下五次方程的解

$x^5+x+a=0$

對應一複數a的布靈根式，是上述方程式五個解中的一個（因此是多值函數）一般會選擇布靈根式的根，使得實數的布靈根式為正值，而且在實數線附近可解析。布靈根式在复平面上有四個Template:Link-en，因此無法定義為複數平面上的連續函數，其連續域需要排除其Template:Link-en。

布靈根式是由Template:Link-en發明的，Template:Link-en證明有些五次方程可以用n次方根及布靈根式求解，因此可以用在一些五次方程的闭合形式解中。

此條目中。a的布靈根式表示為$\mathrm{BR}(a).$。若a是實數，此函數是奇函數、單調遞減且無界，在$a$很大時，其漸近行為$\mathrm{BR}(a)\sim -a^{1/5}$。

級數表示

布靈根式的泰勒级数，以及以广义超几何函数的表示式可以用以下方式推導。方程$x^5+x+a=0$可以寫成$x^5+x=-a.$，若令$f(x)=x^5+x$，想要的解是$x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)$，因為$f(x)$是奇函數。

$f^{-1}$的級數可以用$f(x)$泰勒级数（就是$x+x^5$）的Template:Link-en來得，令

$$\mathrm{BR}(a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{5k}{k})\frac{(-1{)}^{k+1}{a}^{4k+1}}{4k+1}=-a+a^5-5a^9+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,$$

其中係數的絕對值形成整數數列線上大全中的A002294。數列的收敛半径為$4/(5\cdot \sqrt[4]{5})\approx 0.53499.$。

布靈根式的超几何函数形式可以寫成： $$\mathrm{BR}(a)=-a{}_4{F}_3(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};-5{\left(\frac{5a}{4}\right)}^4).$$

相關條目

• 方程理论

外部連結

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