布里渊函数和郎之万函数

布里渊函数和郎之万函数（Brillouin and Langevin functions）是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数。

布里渊函数

布里渊函数形式为：

$B_J(x)=\frac{2J+1}{2J}\coth \left(\frac{2J+1}{2J}x\right)-\frac{1}{2J}\coth \left(\frac{1}{2J}x\right)$

其中，$x$ 为实数，$J$ 为正整数或半整数，函数的值域为从-1（$x\to -\mathrm{\infty }$）到1（$x\to +\mathrm{\infty }$）。

布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度$M$ 与外加 磁场 $B$ 、材料微观磁矩的 总角动量量子数 J之间的关系。磁化强度由下式给出：

$M=Ng{\mu }_{B}J\cdot B_J(x)$

其中，$N$ 单位体积内原子的数目，$g$ 为Template:Link-en，${\mu }_B$为玻尔磁子，$x$ 为外场中磁矩的Template:Link-en与无规热能 $k_{B}T$之比：

$x=\frac{g{\mu }_{B}JB}{k_{B}T}$

其中，$k_B$ 为 波尔兹曼常数， $T$ 为绝对温度。

郎之万函数

郎之万函数 (红线) 与 $\tanh (x/3)$ (蓝线)。

在经典极限，磁矩可以连续地沿外场取向，$J\to \mathrm{\infty }$，布里渊函数可以化简为郎之万函数，形式为：

$L(x)=\coth (x)-\frac{1}{x}$

在高分子物理学中，受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述：

$<R>=bN(\coth (fb/k_{B}T)-\frac{1}{fb/k_{B}T})$

其中，$b$为 库恩长度，$N$为高分子链长，$f$为施加在链末端的外力。

当Template:Math为小量时，郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似：

$L(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3+\frac{2}{945}{x}^5-\frac{1}{4725}{x}^7+\dots$

郎之万函数还可以由以下连分式近似：

$L(x)=\frac{x}{3+\frac{x^2}{5+\frac{x^2}{7+\frac{x^2}{9+\dots }}}}$

郎之万函数的逆函数可由下式近似：

$L^{-1}(x)\approx x\frac{3-x^2}{1-x^2},$

其中，x的取值范围为(-1, 1)。

当x比较小时，一个更好的近似为：

$L^{-1}(x)=3x\frac{35-12x^2}{35-33x^2}+O(x^7)$

郎之万逆函数的泰勒级数为：

$L^{-1}(x)=3x+\frac{9}{5}{x}^3+\frac{297}{175}{x}^5+\frac{1539}{875}{x}^7+\dots$

高温极限

当 $x\ll 1$ 时，即${\mu }_{B}B/k_{B}T$ 很小，磁矩可以由居里定律近似：

$M=C\cdot \frac{B}{T}$

其中 $C=\frac{N{g}^{2}J(J+1){\mu }_B^2}{3k_B}$ 为常数， $g\sqrt{J(J+1)}$ 为有效波尔磁子数目。

强场极限

当 $x\to \mathrm{\infty }$，布里渊函数的值趋于 1，材料的磁化强度饱和，磁矩的取向完全沿外场方向，于是有

$M=Ng{\mu }_{B}J$