居里定律

居里定律是指在顺磁性材料中，材料的磁化强度大致与施加的磁场强度成正比。然而，若加热材料，则比值减小。对于固定场强的磁场，磁化率大致与温度成反比。

$𝐌=C\cdot \frac{𝐁}{T},$

其中

$𝐌$是磁化强度

$𝐁$是磁感应强度

$T$是温度，以开尔文为单位

$C$是材料的居里常数

居里定律是在实验中由皮埃尔·居里得到的，它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导，则能得到在低温和强磁场条件下，磁化强度趋于饱和的结果，而非由定律预言的持续增加。

用量子力学推导

顺磁体的磁化强度 是温度的反比函数.

顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有磁矩$\overrightarrow{\mu }$。磁场中磁矩的能量由下式给出：

$E=-\mathit{\mu }\cdot 𝐁.$

双态 (自旋-½)粒子

为简化计算，可将顺磁体内的粒子看作是双态粒子：其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此，磁矩的可能值只能是$\mu$或者$-\mu$ 。如果是这样，那么这样的粒子只有两种可能的能量

$E_0=-\mu B$

以及

$E_1=\mu B.$

顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说，就是磁化强度$\mu$的期望值：

$⟨\mu ⟩=\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P(-\mu )=\frac{1}{Z}(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta })=\frac{2\mu }{Z}\sinh (\mu B\beta ),$

其中，每一种情况的概率由其玻尔兹曼因子给出，配分函数$Z$为概率提供必要的归一化（即所有这些概率的总和是归一的）。 一个粒子的配分函数是

$Z=\sum _{n=0,1}{e}^{-E_n\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).$

因此，在双态粒子简单的情形中，下式會成立

$⟨\mu ⟩=\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).$

这是单个粒子的磁化强度，固体的总磁化强度由下式给出

$M=n⟨\mu ⟩=n\mu \tanh \left(\frac{\mu B}{kT}\right)$

其中n是磁矩的数密度。上式被称为朗之万顺磁方程。

皮埃尔·居里（Pierre Curie）在实验中发现：当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中，这个定律的近似成立。在$T$值较大且$B$值较小时，上式中双曲正切的自变量减少，即：

$\left(\frac{\mu B}{kT}\right)\ll 1$

上式有时被称为 居里区间. 同时，如果$|x|\ll 1$，那么$\tanh x\approx x$，因此

$𝐌(T\to \mathrm{\infty })=\frac{n{\mu }^2}{k}\frac{𝐁}{T},$

因此磁化强度也很小，有$B\approx {\mu }_{0}H$，可以得到

$M\approx \frac{{\mu }_0{\mu }^{2}n}{k}\frac{H}{T},$

更重要的一点是，磁化率由下式给出

$\chi =\frac{\partial M}{\partial H}\approx \frac{M}{H}$

即

$\chi (T\to \mathrm{\infty })=\frac{C}{T},$

其中 居里常数 $C={\mu }_{0}n{\mu }^2/k$，其单位是开尔文 (K)。

在低温或高场的情况下，$M$趋向于$n\mu$的最大值，对应于所有粒子与场完全对齐。由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子，泡利不相容原理禁止其自旋翻转，所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。根据费米-狄拉克分布，在低温下$M$线性依赖于磁场，因此磁化率饱和到一个常数。

一般情况

当粒子具有任意自旋（任意数量的自旋状态）时，公式有点复杂。 在低磁场或高温下，自旋遵循居里定律，居里常数

$C=\frac{{\mu }_B^2}{3k_B}n{g}^{2}J(J+1)$

其中 $J$是总角动量量子数，$g$ 是 自旋的$g$因子 (例如 $\mu =gJ{\mu }_B$ 是磁量子数)。

对于更一般的公式及其推导（包括高场强，低温），请参阅文章：布里渊函数。 当自旋接近无穷大时，磁化公式接近下一节中推导的经典值。

用经典统计力学推导

当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时，适用另一种处理方法。在这种情况下，它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定，其中一个粒子的能量是

$E=-\mu B\cos \theta ,$

其中 $\theta$ 是磁矩和磁场之间的角度（假设磁场指向$z$轴）。对应的配分函数为

$Z=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta \exp (\mu B\beta \cos \theta ).$

可以看出上式中被积函数对 $\varphi$ 角没有依赖性，令 $y=\cos \theta$ 以获得

$Z=2\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}dy\exp (\mu B\beta y)=2\pi \frac{\exp (\mu B\beta )-\exp (-\mu B\beta )}{\mu B\beta }=\frac{4\pi \sinh (\mu B\beta )}{\mu B\beta .}$

现在，磁化强度的$z$分量的预期值（另外两个被视为零，由于在$\varphi$上的积分），由下式给出

$⟨{\mu }_z⟩=\frac{1}{Z}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta \exp (\mu B\beta \cos \theta )[\mu \cos \theta ].$

为简化计算, 可以将其写作$Z$微分：

$⟨{\mu }_z⟩=\frac{1}{Z\beta }\frac{\partial Z}{\partial B}=\frac{1}{\beta }\frac{\partial \ln Z}{\partial B}$

（这种方法也可以用于上面的模型，但计算非常简单，所以没有那么有用。）

继续推导发现

$⟨{\mu }_z⟩=\mu L(\mu B\beta ),$

其中 $L$ 是郎之万函数:

$L(x)=\coth x-\frac{1}{x}.$

对于小 $x$，此函数似乎是奇异的，但事实并非如此，因为两个奇异项相互抵消。事实上，它对小参数的极限是$L(x)\approx x/3$，因此居里极限也适用，但在这种情况下，居里常数要小三倍。同样，对于其参数的较大值，函数在 $1$ 处饱和，并且同样会恢复相反的极限。

参见

• 居里-韦斯定律