定常系統

Template:NoteTA 在經典力學裏，如果一個系統的所有約束都是定常約束（scleronomous constraint），則稱此系統為定常系統（scleronomous system）。定常約束顯性地不含時間。假若約束顯性地含時間，則稱此約束為非定常約束。

應用

主要項目：廣義速度

在三維空間裏，一個質量為$m$、速度為$𝐯$的粒子的動能是

$T=\frac{1}{2}m{v}^2$。

速度是位置$𝐫$對於時間$t$的導數。應用偏微分連鎖律，可以得到

$𝐯=\frac{d𝐫}{dt}=\sum _i\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial 𝐫}{\partial t}$；

其中，$q_i$是第$i$個廣義坐標，${\dot{q}}_i$是對應的廣義速度。

所以，

$T=\frac{1}{2}m\sum _i{(\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial 𝐫}{\partial t})}^2$。

將方程式展開，動能可以分為三個項目表示：

$T=T_0+T_1+T_2$；

其中，

$T_0=\frac{1}{2}m{\left(\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\right)}^2$，

$T_1=\sum _{i}m\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i$，

$T_2=\sum _{i,j}\frac{1}{2}m\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial q_j}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j,$。

$T_0$、$T_1$、$T_2$分別為廣義速度${\dot{q}}_i$的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地含時間，$\frac{\partial 𝐫}{\partial t}=0$，則只有$T_2$不等於零。所以，$T=T_2$，動能是廣義速度的2次齊次函數。

實例1：單擺

單擺

如右圖所示，單擺是由一個擺錘與一條繩子組成的簡單機械；繩子的上端固定，下端繫著擺錘。由於這繩子是無法伸縮的，繩子的長度是常數。所以，這系統是定常系統；它遵守定常約束

$\sqrt{x^2+y^2}-L=0$；

其中，$(x,y)$是擺錘的位置，$L$是擺長。

實例2：受驅擺

單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動。

參考右圖，假設一個單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動：

$x_t=x_0\cos \omega t$；

這裏，$x_0$是振幅，$\omega$是角頻率，$t$是時間。

由於無法伸縮繩子的長度是常數，擺錘與繩子上端的直線距離保持不變。但是，因為單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動，這個受驅擺系統是非定常系統；它遵守非定常約束

$\sqrt{(x-x_0\cos \omega t{)}^2+y^2}-L=0$。

參閱

• 拉格朗日力學
• 完整系統
• 非定常系統
• 單演系統
• 保守系統