完全性 (统计学)

在统计学中， 完全性，又称-{zh-cn:完备性;zh-tw:完全性}-是统计量的一个性质。 从本质上讲，它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量。

定义

考虑一个随机变量 $X$ ，其概率分布 $P_{\theta }$ 以 $\theta$ 为参数。称一个统计量 $s$ 是完全的，若对任意可测函数 $g$，

如果对所有 $\theta$ 都有 $E(g(s(X)))=0$，则 $P_{\theta }(g(s(X))=0)=1$ 对所有 $\theta$ 都成立。

若对上述函数 $g$ 加上有界的条件，则称该统计量为有界完全的。

例子

若$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自参数为$p$的伯努利分布的独立随机样本，其中$p\in (0,1)$。统计量$T=\sum _{i=1}^b{X}_i$是$p$的完全统计量。注意到$T$服从参数为$n$和$p$的二项分布。若有某个$g$，使得$E_p(g(T))=0$对$p\in (0,1)$都成立，则

$0=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}g(i)=(1-p{)}^n\sum _{i=0}^{n}g(i)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\left(\frac{p}{1-p}\right)}^i,p\in (0,1).$

令$r=p/(1-p)\in ℝ$，则多项式$\sum _{i=0}^{n}g(i)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})r^i$在$ℝ$上恒为0。可知其每一项系数都为0，进而得到$g=0$。由定义，$T=\sum _{i=1}^b{X}_i$是$p$的完全统计量。

完全性的重要性

巴苏定理

Template:Main 有界完全性出现在巴苏定理中， 它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

Bahadur定理

有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出，当至少存在一个最小充分统计量时，如果一个统计量是充分的并且有界完全的，则它是一个最小充分统计量。

参考文献

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