多项式矩阵

Template:Distinguish 多项式矩阵，也称为Template:Math－矩阵、矩阵系数多项式（不是矩阵多项式），是数学中矩阵论里的概念，指系数是多项式的方块矩阵。使用“Template:Math－矩阵”的名称时，说明系数多项式以Template:Math为不定元。

严格定义

给定自然数Template:Math和系数环$𝐑$，一个Template:Math阶多项式矩阵Template:Math为如下形式Template:R：

$A(\lambda )={[a_{i,j}(\lambda )]}_{1⩽i,j⩽n},\mathrm{\forall }1⩽i,j⩽n,a_{i,j}(\lambda )=\sum _{k=0}^{d_{i,j}}{a}_{i,j,k}{\lambda }^k\in 𝐑\left[\lambda \right]$，

其中$d_{i,j}$是每个多项式$a_{i,j}(\lambda )$的次数。如果设其中最大的为$d$：

$d=\underset{1⩽i,j⩽n}{\max }\{d_{i,j}\}$

那么多项式矩阵Template:Math也可以表达为Template:R：

$A=\sum _{k=0}^d{\lambda }^k{\left[a_{i,j,k}\right]}_{1⩽i,j⩽n}=\sum _{k=0}^{d}A(k){\lambda }^k.$

其中约定当$k>d_{i,j}$时，$a_{i,j,k}=0$.

由于多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。如果最高次系数矩阵$A(d)$的行列式不为零，则称多项式矩阵Template:Math为为正则多项式矩阵（Template:Lang）Template:R。所有Template:Math阶多项式矩阵的集合记为${ℳ}_n(𝐑\left[\lambda \right])$或${ℳ}_n(𝐑)\left[\lambda \right]$。Template:R前者表示所有以多项式为系数的Template:Math阶方块矩阵的集合，后者表示所有Template:Math阶方块矩阵为系数的多项式的集合。可以验证两者是同构的。

例子

所有的数值矩阵都是多项式矩阵，因为可以将每个元素看成一个零多项式。设系数环为实数域，以下是一个3阶多项式矩阵：

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& x^2& x\\ 0& 2x& 2\\ 3x+2& x^2-1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 2& -1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 3& 0& 0\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)x^2.$

特征矩阵是多项式矩阵的一个例子。设有Template:Math阶数值矩阵Template:Math，则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵：$P_A(\lambda )=\lambda {𝐈}_n-A$。而特征矩阵的行列式$\det (\lambda {𝐈}_n-A)$就是数值矩阵Template:Math的特征多项式。

性质

由于多项式代数和矩阵代数的结构特性，环$𝐑$上的所有Template:Math阶多项式矩阵也构成一个代数。两个Template:Math阶多项式矩阵可以互相加减、相乘，并且满足加法交换律和乘法分配律（不满足乘法交换律）。用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的初等变换、相似关系、等价关系（也称为相抵）、秩以及行列式Template:R。

如果系数环是域，那么可以证明，所有的多项式矩阵都可以对角化。任何一个秩为Template:Math的多项式矩阵，都可以相抵于一个对角多项式矩阵：

$a\mathrm{diag}(d_1(\lambda ),d_2(\lambda ),\cdots ,d_r(\lambda ),0,\cdots ,0)$

其中的每个非零的对角元素$d_i(\lambda )$都是首一多项式，并且整除下一个对角元素$d_{i+1}(\lambda )$。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型（Template:Lang），所有的$d_i(\lambda )$被称为原多项式矩阵的不变因子Template:R。

如果将Template:Math阶多项式矩阵看成以Template:Math阶方块矩阵为系数的多项式，可以通过将其中的不定元Template:Math替换为一个Template:Math阶方块数值矩阵Template:Math，而得到一个Template:Math阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律，所以替换分为左替换和右替换Template:R：

左替换：将$\sum _{k=0}^{d}A(k){\lambda }^k$ 替换为 $\sum _{k=0}^d{B}^k\cdot A(k),$ 也记作$P_l^A(B),$

右替换：将$\sum _{k=0}^{d}A(k){\lambda }^k$ 替换为 $\sum _{k=0}^{d}A(k)\cdot B^k,$ 也记作$P_r^A(B).$

如果系数环是域，那么多项式矩阵之间可以做带余除法：如果$A(\lambda )$和$B(\lambda )$都是多项式矩阵，其中$B(\lambda )\ne 0$，那么唯一存在多项式矩阵$Q(\lambda )$和$R(\lambda )$，满足

1. $A(\lambda )=B(\lambda )Q(\lambda )+R(\lambda ),$
2. $R(\lambda )$作为多项式的次数严格小于$B(\lambda )$，或者为零。

参见

• 特征多项式
• 不变因子
• 初等因子