外积 (张量积)

外积（Template:Lang-en），在线性代数中一般指两个向量的张量積，其結果為一矩陣；與外积相對，兩向量的內積結果為純量。

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩阵乘法定义

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定 $m \times 1$ 列向量 $𝐮$ 和 $1 \times n$ 行向量 $𝐯$ ，它们的外积 $𝐮 \otimes 𝐯$ 被定义为 $m \times n$ 矩阵 $𝐀$ ，结果出自

𝐮 \otimes 𝐯 = 𝐀 = 𝐮 𝐯

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标：

[\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} b_{1} & a_{2} b_{1} & a_{3} b_{1} \\ a_{1} b_{2} & a_{2} b_{2} & a_{3} b_{2} \\ a_{1} b_{3} & a_{2} b_{3} & a_{3} b_{3} \\ a_{1} b_{4} & a_{2} b_{4} & a_{3} b_{4} \end{matrix}]

对于复数向量，习惯使用 $𝐯$ 的复共轭(指示为 $\bar{𝐯}$ )，因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空间的元素：

𝐮 \otimes 𝐯 = 𝐀 = 𝐮 \bar{𝐯}

如果 $𝐯$ 是列向量，定义变为：

𝐮 \otimes 𝐯 = 𝐀 = 𝐮 𝐯^{*}

这里的 $𝐯^{*}$ 是 $𝐯$ 的共轭转置。

如果 $𝐯$ 是列向量，而且m = n，则可以采用其他方式的积，生成一个标量(或 $1 \times 1$ 矩阵):

⟨ 𝐮, 𝐯 ⟩ = ⟨ 𝐯, 𝐮 ⟩ = 𝐯 𝐮

给定向量 $v \in V$ 和余向量 $w^{*} \in W^{*}$ ，张量积 $v \otimes w^{*}$ 给出映射 $A : W \to V$ ，在同构 $H o m (W, V) = W^{*} \otimes V$ 之下。

具体的说，给定 $w \in W$ ，

A (w) : = w^{*} (w) v

这里的 $w^{*} (w)$ 是 $w^{*}$ 在w上的求值，它生成一个标量，接着乘v。

可作为替代，它是 $w^{*} : W \to K$ 与 $v : K \to V$ 的复合。

如果 $W = V$ ，则还可以配对 $w^{*} (v)$ ，这是内积。