墨卡托級數

在數學內，墨卡托級數（Template:Lang）或者牛頓-墨卡托級數（Template:Lang）是一個自然對數的泰勒級數：

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots .$

使用大寫sigma表示則為

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n.$

當 −1 < x ≤ 1時，此級數收斂於自然對數（加了1）。

歷史

這級數被尼古拉斯·墨卡托、艾薩克·牛頓和格雷戈里·聖文森（Gregory Saint-Vincent）分別獨立發現。首先被墨卡托出版於其1668年時的著作Logarithmo-technica。

推導

這級數可以由泰勒公式導出，藉由不斷地計算第n次ln x在x = 1時的微分，一開始是

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.$

或者，我們可以從有限的等比數列開始(t ≠ −1)

$1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t}$

這可以導出

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t}.$

然後得到

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t})dt$

接著逐項積分，

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1{)}^n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{1+t}dt.$

若−1 < x ≤ 1，餘項會在$n\to \mathrm{\infty }$時趨近於零。

這個表示法可以重複積分k次，得到

$-x{A}_k(x)+B_k(x)\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},$

這裡的

$A_k(x)=\frac{1}{k!}\sum _{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})x^m\sum _{l=1}^{k-m}\frac{(-x{)}^{l-1}}{l}$

和

$B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x{)}^k$

都是x的多項式。

特例

令墨卡托級數裡面的x = 1，則我們會得到交錯調和級數

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2.$

複數級數

下面的複數冪級數

$z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}+\cdots$

是ln(1 + z)的泰勒級數，這裡ln代表複對數（Template:Lang）的主要分支（Template:Lang）。這個級數收斂於一個開放的單位圓盤 |z| < 1 以及圓 |z| = 1 ， z = -1除外 (根據阿貝爾判別法)，而且這裡的收斂對每個半徑小於一的圓盤是一致的 。

參考資料

• Template:Mathworld
• Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
• Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens Template:Wayback from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball