坡印亭定理

Template:NoteTA 在电磁学中，坡印亭定理（Template:Lang-en）是偏微分方程形式說明电磁场的能量守恒的定理，由英国物理学家约翰·亨利·坡印廷发现。坡印亭定理类似于经典力学中的功-能原理，在数学形式上与连续性方程相似。它把能量密度的时间导数，能量的流动，和电磁场做功的速率联系起来。

陈述

一般形式

此定理概念上是指能量守恆： Template:Cquote

此定理还有一种陈述： Template:Cquote

数学上，用微分形式概括为：

$-\frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{𝐉}_f\cdot 𝐄$

其中 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒$ 是坡印亭矢量（能量流）的散度，而 $𝐉\cdot 𝐄$ 是场中带电物体做功的功率（$𝐉$ 为对应于电荷运动的自由电流密度，$𝐄$ 为电场强度，$\cdot$ 为点积）。能量密度 u 为：

$u=\frac{1}{2}(𝐄\cdot 𝐃+𝐁\cdot 𝐇)$

其中 D 是电位移矢量，B 是磁感应强度而 H 是磁场强度，ε₀ 是真空電容率，μ₀ 是真空磁导率。 由于电荷可以自由移动，D 与 H 场忽略任何束缚电荷和电流的电荷分布（由定义），J 是自由电流密度，不是全电流的电流密度。

利用散度定理，坡印亭定理可以改写为积分形式：

$-\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }udV=$$\text{∯}$$\partial V$$𝐒\cdot d𝐀+\underset{V}{\int }𝐉\cdot 𝐄dV$

其中 $\partial V$ 为 V 的边界。该体积的形状似任意的但对于计算是固定的。

電機工程

在電機工程中，该定理通常写成以下把能量密度 u 展开的形式，這與流體力學之连续性方程相似：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{ϵ}_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄=0,$

其中

• ${ϵ}_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$ 是驱动电场建立的无功功率的密度，
• $\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ 是驱动磁场建立的无功功率的密度，
• $𝐉\cdot 𝐄$ 由洛仑兹力作用在载流子上损耗的电功率的密度。

推导

虽然能量守恒定律和洛伦兹力定律可以导出该定理的一般形式，要推导坡印亭矢量的表达式并由此完整叙述，还需要用到馬克士威方程組。

坡印廷定理

考虑到以上叙述 - 这个定理有三个元素，涉及将（单位时间）能量转移写成Template:Le：

所以，根据能量守恒定律，单位时间内的能流平衡方程是该定理的积分形式：

$-\underset{V}{\int }\frac{\partial u}{\partial t}dV=\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒dV+\underset{V}{\int }𝐉\cdot 𝐄dV,$

由于体积 V 是任意的，对所有体积来说都是成立的，这意味着

$-\frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐉\cdot 𝐄,$

这是坡印廷定理的微分形式。

坡印亭矢量

从定理可以得到坡印亭矢量 S 的实际形式。能量密度的时间导数（运用向量点乘的乘积法则）为

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}(𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐃\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐁\cdot \frac{\partial 𝐇}{\partial t})=𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t},$

使用本构关系Template:What

$𝐃={ϵ}_0𝐄,𝐁={\mu }_0𝐇.$

时间偏导意味着要用到馬克士威方程組的两个方程。求麦克斯韦–法拉第方程与 H 的点积：

$\frac{\partial 𝐁}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\times 𝐄\to 𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}=-𝐇\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐄,$

再求麦克斯韦–安培方程与 E 的点积：

$\frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐉=\mathrm{\nabla }\times 𝐇\to 𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐄\cdot 𝐉=𝐄\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐇.$

总和目前的结果得到：

$\begin{array}{cc}-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒& =\frac{\partial u}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄\\ & =(𝐇\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐄\cdot \frac{\partial 𝐃}{\partial t})+𝐉\cdot 𝐄\\ & =𝐄\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐇-𝐇\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐄,\\ \end{array}$

然后，利用向量微积分恒等式：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄\times 𝐇=𝐇\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐄-𝐄\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐇,$

给出了坡印廷矢量的表达式：

$𝐒=𝐄\times 𝐇,$

物理上意味着由于时变电场和磁场的能量传递与这两种场垂直。

参见

• 坡印亭矢量

外部链接

• ScienceWorld上的“坡印亭定理” Template:Wayback