乘积法则

乘积法则（Template:Lang-en），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。

若已知两个可導函数$f,g$及其导数$f^{\prime },g^{\prime }$，则它们的积$fg$的导数为：

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

這個法則可衍生出积分的分部積分法。

莱布尼兹的发现

人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是：

$\begin{array}{cc}d(u\cdot v)& =(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\ & =u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{array}$

由于du·dv的Template:Link-fr，因此有：

$d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv$

两边除以dx，便得：

$\frac{d}{dx}(u\cdot v)=v\cdot \frac{du}{dx}+u\cdot \frac{dv}{dx}$

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

$(u\cdot v{)}^{\prime }=v\cdot u^{\prime }+u\cdot v^{\prime }.$

例子

• 假设我们要求出f(x) = x² sin(x)的导数。利用乘积法则，可得f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x)（这是因为x²的导数是2x，sin(x)的导数是cos(x)）。
• 乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果c是实数，f(x)是可微函数，那么cf(x)也是可微的，其导数为(c × f)'(x) = c × f '(x)。
• 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

证明一：利用面积

假设

$h(x)=f(x)g(x),$

且f和g在x点可导。那么：

$h^{\prime }(x)=\underset{w\to x}{\lim }\frac{h(w)-h(x)}{w-x}=\underset{w\to x}{\lim }\frac{f(w)g(w)-f(x)g(x)}{w-x}.(1)$

现在，以下的差

$f(w)g(w)-f(x)g(x)(2)$

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

$f(x)(g(w)-g(x))+g(w)(f(w)-f(x)).(3)$

因此，(1)的表达式等于：

$\underset{w\to x}{\lim }(f(x)\left(\frac{g(w)-g(x)}{w-x}\right)+g(w)\left(\frac{f(w)-f(x)}{w-x}\right)).(4)$

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

$(\underset{w\to x}{\lim }f(x))\left(\underset{w\to x}{\lim }\frac{g(w)-g(x)}{w-x}\right)+(\underset{w\to x}{\lim }g(w))\left(\underset{w\to x}{\lim }\frac{f(w)-f(x)}{w-x}\right).(5)$

现在：

$\underset{w\to x}{\lim }f(x)=f(x)$

因为当w → x时，f(x)不变；

$\underset{w\to x}{\lim }\frac{g(w)-g(x)}{w-x}=g^{\prime }(x)$

因为g在x点可导；

$\underset{w\to x}{\lim }\frac{f(w)-f(x)}{w-x}=f^{\prime }(x)$

因为f在x点可导；以及

$\underset{w\to x}{\lim }g(w)=g(x)$

因为g在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

$f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x).$

证明二：使用对数

设f = uv，并假设u和v是正数。那么：

$\ln f=\ln u+\ln v.$

两边求导，得：

$\frac{1}{f}\frac{d}{dx}f=\frac{1}{u}\frac{d}{dx}u+\frac{1}{v}\frac{d}{dx}v$

把等式的左边乘以f，右边乘以uv，即得：

$\frac{d}{dx}f=v\frac{d}{dx}u+u\frac{d}{dx}v.$

证明三：使用导数的定义

设 $h(x)=f(x)g(x),$

且f和g在x点可导。那么：

$h^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{[f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)]\cdot g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)\cdot [g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)]}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }g(x+\mathrm{\Delta }x)+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(x)\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

$=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$.

推廣

• 若有$n$个函数$f_1,f_2,...,f_n$，则：

${\left(\prod _{k=1}^n{f}_k\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^n\left(f{\text{'}}_k\cdot \prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne k}}^n{f}_j\right)$

• （萊布尼茲法則）若$f,g$均為可導$n$次的函數，則$fg$的$n$次導數為：

$(f\cdot g{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$

其中$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$是二項式係數。

应用

乘积法则的一个应用是证明以下公式：

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

其中n是一个正整数（该公式即使当n不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 1，$\frac{d}{dx}{x}^1=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h)-x}{h}=1=1x^{1-1}$

假设公式对于某个特定的k成立，那么对于k + 1，我们有：

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{x}^{k+1}& =\frac{d}{dx}(x^k\cdot x)\\ \\ & =x\frac{d}{dx}{x}^k+x^k\frac{d}{dx}x\\ \\ & =x\left(k{x}^{k-1}\right)+x^k\cdot 1\\ \\ & =(k+1)x^k.\end{array}$

因此公式对于k + 1也成立。

参见

• 除法定则
• 倒数定则
• 鏈式法則
• 分部积分法